多元偏态分布

R 中的多元概率分布

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

偏态多元分布：散点图

流式细胞术数据——侧向散射（SSC）与前向散射（FSC）

偏态多元分布：等高线图

流式细胞术数据——侧向散射（SSC）与前向散射（FSC）

单变量偏正态分布

一般偏正态记为$SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$与$\omega$为位置与尺度参数

最简单形式：$z \sim SN(\alpha)$

$\alpha$为偏度参数

单变量偏正态分布的取值范围

比较$SN(\alpha)$与标准正态

$\alpha>0$：右偏
$\alpha<0$：左偏
$SN(0)$与标准正态相同

多元偏正态分布

记号：三维多元偏正态分布

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ 位置参数（长度为3的向量）
$\Omega$ 方差-协方差参数（$3 \times 3$矩阵）
$\alpha$ 偏度参数（长度为3的向量）

二元偏正态分布等高线图

二元偏正态

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$。

偏正态分布的函数

来自sn库：

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- 需要给定xi、Omega、alpha

偏t分布的函数

来自sn库：

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- 需要给定xi、Omega、alpha、nu（自由度）

生成偏正态样本

从三维偏正态生成2000个样本

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# 指定 xi、Omega 和 alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# 生成样本
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

来自偏正态分布的样本

生成偏t样本

从三维偏t分布生成2000个样本

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# 生成样本
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

从数据估计参数

估计偏正态分布参数需要迭代算法
- 无显式公式可直接计算参数
sn包中有多种函数，如msn.mle()

从数据估计参数

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

样本生成所用参数：

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

现在用偏正态分布做些练习吧！

R 中的多元概率分布