Transformarea problemelor neliniare

Introducere în optimizare în Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Maximizarea unei funcții neliniare

  • Un artist produce până la 16 tablouri cu costul $C(q) = \sqrt q$, unde $q$ este cantitatea
  • Cererea inversă este $p=\frac{3}{\sqrt q}$, unde $p$ este prețul
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Femeie pictând pe o pânză

Introducere în optimizare în Python

SciPy sau PuLP?

  • SciPy: milp necesită un obiectiv liniar
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Introducere în optimizare în Python

Substituție pentru liniarizare

  • Substituiți $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ constrângere de capacitate $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Introducere în optimizare în Python

Bugetare de capital cu proiecte dependente

Enunțul problemei

  • Proiecte $A$, $B$, $C$; $A$ este o condiție prealabilă pentru $B$
  • Profiturile sunt respectiv $V$ = [250, 200, 300]
  • Investiția necesară este $I$ = [2000, 1900, 2500] și sunt disponibili doar $4600

Modelare

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ variabile binare; indică selecția proiectului

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Pictogramă gestiune buget

Introducere în optimizare în Python

Liniarizare: produs de variabile binare

  • Înlocuiți $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Adăugați constrângeri
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Problema se reduce la

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Introducere în optimizare în Python

Alocarea resurselor cu cost de instruire

  • Alocați 120 sarcini pentru a minimiza costul
  • Senior ($S$), junior ($J$) și stagiar ($I$)
  • Cost de instruire stagiar $500
  • Costul rezolvării unei sarcini $c$ = [30, 40, 5]
  • Vectorul $x$: sarcini alocate optim
  • Binar $o$: dacă stagiarul primește instruire
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Persoană cu creion lângă o listă mare de sarcini

Introducere în optimizare în Python

Liniarizare: produs dintre binar și continuu

  • Metoda BigM introduce un număr mare M
  • Înlocuiește produsul cu $z = (5x_I+500)o$
  • Impune
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Introducere în optimizare în Python

Să exersăm!

Introducere în optimizare în Python

Preparing Video For Download...