Optimizare convexă cu constrângeri

Introducere în optimizare în Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Optimizare convexă cu constrângeri

Funcție convexă.

Constrângere: limitare asupra variabilelor
Curbă de indiferență: reprezintă o combinație de variabile
Găsiți punctul de pe curba de indiferență care minimizează sau maximizează funcția obiectiv

Curba de indiferență

O tânără cu păr închis lucrează la laptop

Inginer software freelancer
Apreciază munca ($w$) și timpul liber ($l$)

Funcție de utilitate:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Reprezentarea grafică a curbei de indiferență

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Curba de indiferență

Vizualizarea curbei de indiferență

Alexia este indiferentă față de combinația specifică de $w$ și $l$

Constrângerea de timp

24 de ore pe zi
Constrângere de egalitate liniară

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Adăugați constrângerea pe grafic:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Curbă de indiferență și constrângere liniară. Curba de indiferență la nivel optim este tangentă la constrângere. În punctul de tangență, gradientul este perpendicular pe constrângere și pe tangentă.

Rezolvare cu SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Să exersăm!

Introducere în optimizare în Python