Mai multe despre valori și vectori proprii

Algebră liniară pentru știința datelor în R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Ce se întâmplă?

Dacă valorile proprii $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ ale lui $A$ sunt distincte și $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ este un set de vectori proprii asociați, atunci acest set formează o bază pentru spațiul vectorilor $n$-dimensionali.
Altfel spus, dacă presupunem că matricea $A$ are o bază de vectori proprii $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$, cu valori proprii distincte $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, atunci orice vector $n$-dimensional poate fi exprimat ca o combinație liniară a acestor vectori, adică $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Ce se întâmplă?

Aplicând matricea $A$ asupra lui $\vec{x}$ și folosind relația $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j,$ obținem următoarea descompunere simplă

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Astfel, perechile proprii transformă înmulțirea matriceală într-o combinație liniară de înmulțiri scalare!

Iterarea matricei

Dacă înmulțim iterativ cu matricea $A$:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

sau, în general: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Înmulțirea matriceală succesivă nu este echivalentă cu înmulțirea scalară succesivă (exponențiere)!

De asemenea, dacă una dintre valori proprii este mai mare decât celelalte, diferențele se amplifică pe măsură ce $t$ crește.

Exemplu cu frecvențele alelelor

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Să exersăm!

Algebră liniară pentru știința datelor în R