Definiția valorilor/vectorilor proprii

Algebră liniară pentru știința datelor în R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Definiție

Pentru o matrice $A$, scalarul $\lambda$ este o valoare proprie a lui $A$, cu vectorul propriu asociat $\vec{v} \neq \vec{0}$, dacă ecuația următoare este adevărată: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Altfel spus:

Înmulțirea matriceală $A\vec{v}$, o operație matrice-vector, produce același vector ca $\lambda \vec{v}$, o înmulțire scalară aplicată unui vector.

Această matrice _nu_ trebuie să fie ca matricele din lecția anterioară.

Exemplu

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Observați că $\lambda = 2$ este o valoare proprie a lui $A$ cu vectorul propriu $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Motivație geometrică

Exemplu (continuare)

Observați că $\lambda = 2$ este o valoare proprie a lui $A$ cu vectorul propriu $\vec{v} = (1, 0)^T$ _și_ $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Să exersăm!

Algebră liniară pentru știința datelor în R