Rezolvarea ecuațiilor matrice-vector

Algebră liniară pentru știința datelor în R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Rezolvarea $A\vec{x} = \vec{b}$ folosind $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Verificarea soluției prin substituirea lui $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Care este egal cu $\vec{b}$ dat:

print(b)

1 -2

Condiții suplimentare pentru soluții unice

Astfel, singura soluție a ecuației omogene $A\vec{x} = \vec{0}$ este soluția trivială $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Dacă $A$ este o matrice pătrată $n$ pe $n$, următoarele condiții sunt echivalente și implică o soluție unică la $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Matricea $A$ are inversă (este inversabilă)
Determinantul lui $A$ este nenul
Liniile și coloanele lui $A$ formează o bază pentru mulțimea vectorilor cu $n$ elemente
Ecuația omogenă $A\vec{x} = \vec{0}$ are doar soluția trivială ($\vec{x} = 0$)

Algebră liniară pentru știința datelor în R