Distribuții asimetrice multivariate

Distribuții de probabilitate multivariate în R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Distribuție multivariată asimetrică: diagrama de dispersie

Date de citometrie în flux — dispersie laterală (SSC) și dispersie frontală (FSC)

Distribuție multivariată asimetrică: grafic de contur

Date de citometrie în flux — dispersie laterală (SSC) și dispersie frontală (FSC)

Distribuția normal-asimetrică univariată

Forma generală se notează $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ și $\omega$ sunt parametrii de locație și scală

Forma cea mai simplă: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ este parametrul de asimetrie

Spectrul distribuțiilor normal-asimetrice univariate

Comparație între $SN(\alpha)$ și o distribuție normală standard

Pentru $\alpha>0$ asimetrie la dreapta
Pentru $\alpha<0$ asimetrie la stânga
$SN(0)$ este identică cu o normală standard

Distribuția normal-asimetrică multivariată

Notații: distribuție normal-asimetrică multivariată tridimensională

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ parametru de locație (vector de lungime $3$)
$\Omega$ parametru varianță-covarianță (matrice $3 \times 3$)
$\alpha$ parametru de asimetrie (vector de lungime $3$)

Grafic de contur: distribuție normal-asimetrică bivariată

Normal-asimetrică bivariată

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Funcții pentru distribuția normal-asimetrică

Din biblioteca sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Trebuie specificați xi, Omega, alpha

Funcții pentru distribuția t-asimetrică

Din biblioteca sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Trebuie specificați xi, Omega, alpha, nu (grade de libertate)

Generarea eșantioanelor normal-asimetrice

Generați 2000 de eșantioane dintr-o distribuție normal-asimetrică tridimensională

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Eșantion din distribuția normal-asimetrică

Generarea eșantioanelor t-asimetrice

Generați 2000 de eșantioane dintr-o distribuție t-asimetrică tridimensională cu

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Estimarea parametrilor din date

Este necesar un algoritm iterativ pentru estimarea parametrilor unei distribuții normal-asimetrice
- Nu există o ecuație explicită pentru calculul parametrilor
Pachetul sn include mai multe funcții, printre care msn.mle()

Estimarea parametrilor din date

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Eșantioanele au fost generate folosind:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Acum să facem câteva exerciții cu distribuții normal-asimetrice!

Distribuții de probabilitate multivariate în R