Случайное блуждание

Анализ временных рядов на Python

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

Что такое случайное блуждание?

Цена сегодня = Цена вчера + Шум

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

График смоделированных данных

Что такое случайное блуждание?

Цена сегодня = Цена вчера + Шум

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Изменение цены — белый шум

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \quad \ \ = \quad \ \ \epsilon_t$

Случайное блуждание нельзя прогнозировать
Лучший прогноз завтрашней цены — цена сегодня

Что такое случайное блуждание?

Цена сегодня = Цена вчера + Шум

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Случайное блуждание со сносом:

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \ \mu \ + \ P_{t-1} \ \ + \quad \epsilon_t$

Изменение цены — белый шум с ненулевым средним:

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \mu \ \ + \ \ \epsilon_t$

Статистический тест на случайное блуждание

Случайное блуждание со сносом

$\large \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \mu \ \ + \ \ P_{t-1} \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Регрессионный тест на случайное блуждание

$\large \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

Тест:

$\quad \quad \large H_0: \beta=1$ (случайное блуждание)

$\quad \quad \large H_1: \beta<1$ (не случайное блуждание)

Статистический тест на случайное блуждание

Регрессионный тест на случайное блуждание

$\large \quad \quad \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Эквивалентная форма

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

Тест:

$\quad \quad \large H_0: \beta=0$ (случайное блуждание)

$\quad \quad \large H_1: \beta<0$ (не случайное блуждание)

Статистический тест на случайное блуждание

Регрессионный тест на случайное блуждание

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

Тест:

$\large \ \ \ \ H_0: \beta=0$ (случайное блуждание)

$\large \ \ \ \ H_1: \beta<0$ (не случайное блуждание)

Этот тест называется тестом Дики–Фуллера
Если добавить лаговые разности в правую часть, получится расширенный тест Дики–Фуллера

Тест ADF в Python

Импорт модуля из statsmodels

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

Запуск расширенного теста Дики–Фуллера
```
adfuller(x)
```

Пример: является ли S&P500 случайным блужданием?

# Run Augmented Dickey-Fuller Test on SPX data
results = adfuller(df['SPX'])

# Print p-value
print(results[1])

0.782253808587

# Print full results
print(results)

(-0.91720490331127869,
 0.78225380858668414,
 0,
 1257,
 {'1%': -3.4355629707955395,
  '10%': -2.567995644141416,
  '5%': -2.8638420633876671},
 10161.888789598503)

Давайте потренируемся!

Анализ временных рядов на Python