Методы экспоненциального сглаживания с трендом

Прогнозирование в R

Rob J. Hyndman

Professor of Statistics at Monash University

Линейный тренд Хольта

	Простое экспоненциальное сглаживание
Прогноз	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t$
Уровень	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)\ell_{t-1}$

	Линейный тренд Хольта
Прогноз	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + hb_t$
Уровень	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$
Тренд	$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) b_{t-1}$

Линейный тренд Хольта

	Линейный тренд Хольта
Прогноз	$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + hb_t$
Уровень	$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + b_{t-1})$
Тренд	$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) b_{t-1}$

Два параметра сглаживания $\alpha$ и $\beta^*$, где $0 \leq \alpha$ и $\beta^* \leq 1$
Выбирайте $\alpha, \beta^*, \ell_0, b_0$ для минимизации SSE

Метод Хольта в R

airpassengers %>% holt(h = 5) %>% autoplot

Метод затухающего тренда

Компонентная форма
$\hat{y}_{t+h \mid t} = \ell_t + (\phi + \phi^2 + ... + \phi^h)b_t$
$\ell_t = \alpha y_t + (1-\alpha)(\ell_{t-1} + \phi b_{t-1})$
$b_t = \beta^(\ell_t = \ell_{t-1}) + (1 - \beta^) \phi b_{t-1}$

Параметр затухания $\ 0 < \phi < 1$
При $\ \phi = 1$ совпадает с линейным трендом Хольта
Краткосрочные прогнозы трендовые, долгосрочные — постоянные

Пример: авиапассажиры

fc1 <- holt(airpassengers, h = 15, PI = FALSE)
fc2 <- holt(airpassengers, damped = TRUE, h = 15, PI = FALSE)
autoplot(airpassengers) + xlab("Year") + ylab("millions") +
  autolayer(fc1, series="Linear trend") +
  autolayer(fc2, series="Damped trend")

Давайте потренируемся!

Прогнозирование в R