Преобразование нелинейных задач

Введение в оптимизацию на Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Максимизация нелинейной функции

  • Художник создаёт до 16 картин с затратами $C(q) = \sqrt q$, где $q$ — количество
  • Обратный спрос: $p=\frac{3}{\sqrt q}$, где $p$ — цена
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Женщина рисует на холсте

Введение в оптимизацию на Python

SciPy или PuLP?

  • SciPy: milp ожидает линейную целевую функцию
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Введение в оптимизацию на Python

Замена переменных для линеаризации

  • Введём замену $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ ограничение мощности $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Введение в оптимизацию на Python

Распределение капитала с зависимыми проектами

Постановка задачи

  • Проекты $A$, $B$, $C$; $A$ — предварительное условие для $B$
  • Прибыль соответственно $V$ = [250, 200, 300]
  • Требуемые инвестиции $I$ = [2000, 1900, 2500], доступно только $4600

Моделирование

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ — бинарные переменные; указывают на выбор проекта

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Иконка управления бюджетом

Введение в оптимизацию на Python

Линеаризация: произведение бинарных переменных

  • Заменим $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Добавим ограничения
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Задача сводится к

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Введение в оптимизацию на Python

Распределение ресурсов с учётом затрат на обучение

  • Распределить 120 задач с минимальными затратами
  • Старший ($S$), младший ($J$) и стажёр ($I$)
  • Стоимость обучения стажёра $500
  • Стоимость выполнения задачи $c$ = [30, 40, 5]
  • Вектор $x$: оптимально распределённые задачи
  • Бинарная $o$: проходит ли стажёр обучение
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Человек с карандашом стоит рядом с большим списком задач

Введение в оптимизацию на Python

Линеаризация: произведение бинарной и непрерывной переменных

  • Метод BigM вводит большое число M
  • Заменяет произведение на $z = (5x_I+500)o$
  • Накладывает ограничения
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Введение в оптимизацию на Python

Давайте потренируемся!

Введение в оптимизацию на Python

Preparing Video For Download...