Выпуклая оптимизация с ограничениями

Введение в оптимизацию на Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Выпуклая оптимизация с ограничениями

Выпуклая функция.

Ограничение: условие на переменные
Кривая безразличия: отображает комбинации переменных
Найти точку на кривой безразличия, минимизирующую или максимизирующую целевую функцию

Кривая безразличия

Молодая темноволосая женщина работает за ноутбуком

Инженер-фрилансер
Ценит работу ($w$) и досуг ($l$)

Функция полезности:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Построение кривой безразличия

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Кривая безразличия

Визуализация кривой безразличия

Алексии безразлична конкретная комбинация $w$ и $l$

Временное ограничение

24 часа в сутки
Линейное ограничение-равенство

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Добавим ограничение на график:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Кривая безразличия и линейное ограничение. Кривая безразличия на оптимальном уровне касается ограничения. В точке касания градиент перпендикулярен ограничению и касательной.

Решение с помощью SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Давайте потренируемся!

Введение в оптимизацию на Python