Многомерная оптимизация

Введение в оптимизацию на Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Фабрика печенья

Целевая функция:

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
- $F$: производственная функция
- Труд ($L$): часы работы сотрудников
- Капитал ($K$): часы работы оборудования
- Многомерная задача

Печенье на производственной линии.

Частные производные

Одномерная задача

Целевая функция:

$p = 40q - 0.5q^2$

Производная: наклон целевой функции изменяется при изменении одной переменной

$\frac{dp}{dq} = 40 - q$

Многомерная задача

Целевая функция:

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$

Частные производные: изменение наклона относительно каждой переменной

$\frac{\partial F}{\partial K}$ и $\frac{\partial F}{\partial L}$

Решение многомерных задач

Целевая функция:

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$
- $F$: производственная функция
- Труд ($L$): часы работы сотрудников
- Капитал ($K$): часы работы оборудования

from sympy import symbols, diff, solve


K, L = symbols('K L')
F = K**.34 * L**.66


dF_dK = diff(F, K)
dF_dL = diff(F, L)

crit_points = solve([dF_dK, dF_dL], (K, L))


print(crit_points)

[]

Наша производственная функция

Целевая функция:

$F = K^{0.34} \times L^{0.66}$

При росте $K$ и $L$ значение $F$ увеличивается
Максимумов и минимумов нет!

3D-график производственной функции фабрики печенья.

Ограничения дифференцирования

Обратите внимание:

Отсутствие производной
Разрывы
Монотонно возрастающие или убывающие функции

Недифференцируемые функции: оптимизация с помощью дифференцирования невозможна

Три графика функций, для которых дифференцирование не позволяет найти максимум или минимум.

Давайте потренируемся!

Введение в оптимизацию на Python