Среднее, дисперсия и нормальное распределение

Введение в управление портфельными рисками на Python

Dakota Wixom

Quantitative Analyst | QuantCourse.com

Моменты распределений

Вероятностные распределения характеризуются следующими моментами:

1) Среднее ($ \mu $)
2) Дисперсия ( $ \sigma ^ 2 $ )
3) Асимметрия
4) Эксцесс

Существует множество видов распределений — нормальные и ненормальные. Случайная величина с гауссовым распределением называется нормально распределённой.

Нормальное распределение обладает следующими свойствами:

Среднее = $ \mu $
Дисперсия = $ \sigma ^ 2 $
Асимметрия = 0
Эксцесс = 3

Стандартное нормальное распределение

Стандартное нормальное распределение — частный случай нормального распределения при:

$ \sigma $ = 1
$ \mu $ = 0

Сравнение с нормальным распределением

Нормальные распределения имеют асимметрию, близкую к 0, и эксцесс, близкий к 3.
Финансовая доходность, как правило, не подчиняется нормальному распределению
Финансовая доходность может иметь высокий эксцесс

Сравнение с нормальным распределением

Вычисление средней доходности в Python

Для вычисления средней дневной доходности используйте функцию np.mean():

import numpy as np
np.mean(StockPrices["Returns"])

0.0003

Для вычисления средней годовой доходности из расчёта 252 торговых дней в году:

import numpy as np
((1+np.mean(StockPrices["Returns"]))**252)-1

0.0785

Стандартное отклонение и дисперсия

Стандартное отклонение (волатильность)

Дисперсия = $ \sigma ^ 2 $
В математических обозначениях обычно записывается как $ \sigma $ или называется волатильностью
Инвестиция с более высоким $ \sigma $ считается более рискованной
Измеряет разброс значений доходности

Стандартное отклонение и дисперсия в Python

Предположим, что данные о доходности акций уже загружены в объект StockData. Для вычисления периодического стандартного отклонения доходности:

import numpy as np
np.std(StockPrices["Returns"])

0.0256

Для вычисления дисперсии достаточно возвести стандартное отклонение в квадрат:

np.std(StockPrices["Returns"])**2

0.000655

Масштабирование волатильности

Волатильность масштабируется пропорционально корню квадратному из времени
Обычно принимается 252 торговых дня в году и 21 торговый день в месяц

Масштабирование волатильности в Python

Предположим, что данные о доходности акций уже загружены в объект StockData. Для вычисления годовой волатильности доходности:

import numpy as np
np.std(StockPrices["Returns"]) * np.sqrt(252)

0.3071

Давайте потренируемся!

Введение в управление портфельными рисками на Python