Определение собственного значения и собственного вектора

Линейная алгебра для науки о данных на R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Определение

Для матрицы $A$ скаляр $\lambda$ является собственным значением матрицы $A$ с соответствующим собственным вектором $\vec{v} \neq \vec{0}$, если выполняется следующее равенство: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Иными словами:

Произведение $A\vec{v}$ (матрично-векторная операция) даёт тот же результат, что и $\lambda \vec{v}$ — умножение вектора на скаляр.

Эта матрица не обязана быть такой, как матрицы из предыдущей лекции.

Пример

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Обратите внимание: $\lambda = 2$ является собственным значением матрицы $A$ с собственным вектором $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Геометрическая интерпретация

Пример (продолжение)

Обратите внимание: $\lambda = 2$ является собственным значением матрицы $A$ как для $\vec{v} = (1, 0)^T$, так и для $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Давайте потренируемся!

Линейная алгебра для науки о данных на R