Решение матрично-векторных уравнений

Линейная алгебра для науки о данных на R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Решение $A\vec{x} = \vec{b}$ через $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Проверка решения подстановкой $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Что совпадает с заданным $\vec{b}$:

print(b)

1 -2

Дополнительные условия единственности решения

Таким образом, единственным решением однородного уравнения $A\vec{x} = \vec{0}$ является тривиальное решение $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Если $A$ — квадратная матрица размера $n \times n$, то следующие условия равносильны и гарантируют единственное решение $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Матрица $A$ имеет обратную (является обратимой)
Определитель матрицы $A$ ненулевой
Строки и столбцы $A$ образуют базис множества всех векторов с $n$ элементами
Однородное уравнение $A\vec{x} = \vec{0}$ имеет только тривиальное решение ($\vec{x} = 0$)

Линейная алгебра для науки о данных на R