Теорема Байеса

Основы теории вероятностей на Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Вероятность двух бросков монеты

P(A и B) для независимых событий

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A и B) для зависимых событий

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A и B) для зависимых событий (продолжение)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A и B) равно P(B и A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A и B) равно P(B и A) (продолжение)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Соотношение Байеса

$$ $$

Теорема Байеса

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Полная вероятность

Бракованные детали всех поставщиков на диаграмме Венна

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Полная вероятность (продолжение)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Полная вероятность (продолжение)

Бракованные детали всех поставщиков на диаграмме Венна

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Формула Байеса

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Формула Байеса (продолжение)

Формула Байеса:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Вероятность того, что деталь поставлена поставщиком i, при условии, что она бракованная:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Формула Байеса (продолжение)

Формула Байеса: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Вероятность того, что деталь поставлена поставщиком i, при условии, что она бракованная:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса

Бракованные детали всех поставщиков на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщика 1 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщика 1 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщиков 1 и 2 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщиков 1, 2 и 3 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщиков 1, 2 и 3 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщиков 1, 2 и 3 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщика 1 относительно бракованных деталей поставщиков 1, 2 и 3 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Наглядное представление теоремы Байеса (продолжение)

Бракованные детали поставщика 1 относительно бракованных деталей поставщиков 1, 2 и 3 на диаграмме Венна

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Пример с заводами и деталями на Python

Некоторая электронная деталь производится тремя поставщиками: V1, V2 и V3.

Половину деталей выпускает V1, по 25% — V2 и V3. Вероятность того, что деталь бракованная при условии, что она произведена V1, составляет 1%; для V2 — 2%, для V3 — 3%.

Если деталь оказалась бракованной, какова вероятность того, что она произведена V1?

Пример с заводами и деталями на Python (продолжение)

Если деталь бракованная, найдите вероятность того, что она произведена V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Пример с заводами и деталями на Python (продолжение)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

Вероятность того, что случайно выбранная бракованная деталь произведена V1:

0.285714285714

Давайте потренируемся!

Основы теории вероятностей на Python