От выборочного среднего к среднему генеральной совокупности

Основы теории вероятностей на Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Повторение: выборочное среднее

$$ $$

Закон больших чисел

Выборочное среднее стремится к математическому ожиданию по мере увеличения объёма выборки.

Марка с портретом Якоба Бернулли

Повторение: выборочное среднее (продолжение)

$$ \text{Выборочное среднее} = \bar{X_2} = \frac{x_1+x_2}{2} $$

Повторение: выборочное среднее (продолжение)

$$ \text{Выборочное среднее} = \bar{X_3} = \frac{x_1+x_2+x_3}{3} $$

Повторение: выборочное среднее (продолжение)

$$ \text{Выборочное среднее} = \bar{X_n} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} $$

Повторение: выборочное среднее (продолжение)

$$ \text{Выборочное среднее} = \bar{X_n} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} \to \mathbb{E(X)} $$

Формирование выборки

# Import binom and describe
from scipy.stats import binom
from scipy.stats import describe

# Sample of 250 fair coin flips
samples = binom.rvs(n=1, p=0.5, size=250, random_state=42)

# Print first 100 values from the sample
print(samples[0:100])

[0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0
 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1
 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0]

Вычисление выборочного среднего

# Calculate the sample mean
print(describe(samples[0:10]).mean)

0.6

Сходимость выборочного среднего к математическому ожиданию

Анимация сходимости выборочного среднего к математическому ожиданию

Построение графика выборочного среднего

$$ $$

from scipy.stats import binom
from scipy.stats import describe
import matplotlib.pyplot as plt

# Define our variables
coin_flips, p, sample_size , averages = 1, 0.5, 1000, []

# Generate the sample
samples = binom.rvs(n=coin_flips, p=p, size=sample_size, random_state=42)

Построение графика выборочного среднего (продолжение)

$$ $$

# Calculate the sample mean
for i in range(2,sample_size+1):
    averages.append(describe(samples[0:i]).mean)

# Print the first values of averages
print(averages[0:10])

[0.5, 0.6666666666666666, 0.75, 0.6, 0.5, 0.42857142857142855, 0.5, 
0.5555555555555556,0.6, 0.5454545454545454]

Построение графика выборочного среднего (продолжение)

$$ $$

# Add population mean line and sample mean plot
plt.axhline(binom.mean(n=coin_flips, p=p), color='red')
plt.plot(averages, '-')

# Add legend
plt.legend(("Population mean","Sample mean"), loc='upper right')
plt.show()

График выборочного среднего

Давайте потренируемся!

Основы теории вероятностей на Python