Математическое ожидание, среднее и дисперсия

Основы теории вероятностей на Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Математическое ожидание

Математическое ожидание: сумма возможных исходов, взвешенных по вероятностям.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Математическое ожидание дискретной случайной величины — это сумма возможных исходов, взвешенных по их вероятностям.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Для подбрасывания монеты получаем:

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Для подбрасывания монеты получаем:

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$

Каждое $x_i$ — это результат одного эксперимента (например, подбрасывания монеты: 0 или 1).

$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$

В Python для вычисления среднего арифметического используется функция scipy.stats.describe().

from scipy.stats import describe
describe([0,1]).mean

0.5

График выборочного среднего для 100 подбрасываний честной монеты

График выборочного среднего для 1000 подбрасываний честной монеты

График выборочного среднего для 10000 подбрасываний честной монеты

Дисперсия — мера разброса данных.

Это математическое ожидание квадратичного отклонения от ожидаемого значения.

$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$

В Python для вычисления выборочной дисперсии используется функция scipy.stats.describe().

describe([0,1]).variance

0.5

Для $X\sim Binomial(n, p)$

$$ E(X) = n \times p $$

$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$

Пример: $n=10$, $p=0{,}5$

В Python для вычисления математического ожидания и дисперсии используется метод binom.stats().

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))

Каковы математическое ожидание и дисперсия для одного подбрасывания честной монеты?

binom.stats(n=1, p=0.5)

(array(0.5), array(0.25))

Каковы математическое ожидание и дисперсия для одного подбрасывания несимметричной монеты с вероятностью успеха 30%?

binom.stats(n=1, p=0.3)

(array(0.3), array(0.21))

Каковы математическое ожидание и дисперсия для 10 подбрасываний честной монеты?

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))

Основы теории вероятностей на Python