Вычисление вероятностей двух событий

Основы теории вероятностей на Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Независимость событий

Пусть A и B — события случайного эксперимента. Условия независимости A и B:

1. Порядок наступления A и B не влияет на их вероятности.
2. Наступление A не влияет на вероятность B.
3. Наступление B не влияет на вероятность A.

Анализ выборки

Генерируем выборку, моделирующую 1000 подбрасываний двух честных монет

from scipy.stats import binom
sample = binom.rvs(n=2, p=0.5, size=1000, random_state=1)

array([1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 2, 2,...

Находим повторяющиеся значения

from scipy.stats import find_repeats
find_repeats(sample)

RepeatedResults(values=array([0., 1., 2.]), counts=array([249, 497, 254]))

Анализ несбалансированной выборки

Используя сгенерированные данные biased_sample, вычисляем относительную частоту каждого исхода

from scipy.stats import relfreq
relfreq(biased_sample, numbins=3).frequency

array([0.039, 0.317, 0.644])

Вычисление совместной вероятности

$$ $$

	Двигатель	Коробка передач
Отказ	0,01	0,005
Работа	0,99	0,995

$$ $$ $$P(Engine\ fails\ and\ Gear\ box\ fails)=?$$

$$ $$

P_Eng_fail = 0.01
P_GearB_fail = 0.005
P_both_fails = P_Eng_fail*P_GearB_fail
print(P_both_fails)

0.00005

P(A или B) на примере карт

$$P(Jack\ or\ King) = ?$$

P(A или B) на примере карт (продолжение)

$$P(Jack\ or\ King) = \color{red}{P(Jack)}+...$$ $$P(Jack\ or\ King) = \color{red}{\frac{4}{52}}+...$$

P(A или B) на примере карт (продолжение)

$$P(Jack\ or\ King) = P(Jack)+\color{red}{P(King)}$$ $$P(Jack\ or\ King) = \frac{4}{52}+\color{red}{\frac{4}{52}}$$

P(A или B) на примере карт (продолжение)

$$P(Jack\ or\ King) = P(Jack)+P(King)$$ $$P(Jack\ or\ King) = \frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$$

P(A или B) на примере карт (продолжение)

$$P(Jack\ or\ King) = P(Jack)+P(King)$$ $$P(Jack\ or\ King) = \frac{4}{52}+\frac{4}{52}=\frac{8}{52}=\frac{2}{13}$$

Вероятность A или B

Вероятность A или B (продолжение)

Вероятность A или B (продолжение)

$$P(A\ or\ B) = ?$$

Вероятность A или B (продолжение)

$$P(A\ or\ B) = \color{red}{P(A)}+...$$

Вероятность A или B (продолжение)

$$P(A\ or\ B) = P(A) + \color{red}{P(B)}$$

P(A или B) с пересечением

$$P(Jack\ or\ Heart)=?$$

P(A или B) с пересечением (продолжение)

$$P(Jack\ or\ Heart) =\color{red}{P(Jack)}+...$$ $$P(Jack\ or\ Heart) =\color{red}{\frac{4}{52}}+...$$

P(A или B) с пересечением (продолжение)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+\color{red}{P(Heart)}\ ...$$ $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\color{red}{\frac{13}{52}}\ ...$$

P(A или B) с пересечением (продолжение)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+P(Heart)...$$ $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\frac{13}{52}...$$

P(A или B) с пересечением (продолжение)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+P(Heart)-\color{red}{P(Jack\ and\ Heart)}$$ $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\color{red}{\frac{1}{52}}$$

P(A или B) с пересечением (продолжение)

$$P(Jack\ or\ Heart) =P(Jack)+P(Heart)-P(Jack\ and\ Heart)$$ $$P(Jack\ or\ Heart) =\frac{4}{52}+\frac{13}{52}-\frac{1}{52}=\frac{16}{52}=\frac{4}{13}$$

Диаграмма P(A или B)

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

$$P(A\ or\ B)=?$$

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

$$P(A\ or\ B)=\color{red}{P(A)}+...$$

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+\color{red}{P(B)}\ ...$$

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+P(B)\ ...$$

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+P(B)-\color{red}{P(A\ and\ B)}$$

Диаграмма P(A или B) (продолжение)

$$P(A\ or\ B)=P(A)+P(B)-P(A\ and\ B)$$

Вычисление P(валет или червь) на Python

P_Jack = 4/52
P_Hearts = 13/52
P_Jack_n_Hearts = 1/52
P_Jack_or_Hearts = P_Jack + P_Hearts - P_Jack_n_Hearts
print(P_Jack_or_Hearts)

0.307692307692

Давайте потренируемся!

Основы теории вероятностей на Python