Теория экстремальных значений

Количественное управление рисками на Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Экстремальные значения

Экстремальные значения: из хвоста распределения
- Хвостовые потери: потери, превышающие некоторый уровень
- Моделирование хвостовых потерь => более эффективное управление рисками

Теория экстремальных значений: статистическое распределение экстремальных значений
Блочные максимумы

линейный интервал от 0 до T

Теория экстремальных значений: статистическое распределение экстремальных значений
Блочные максимумы:
- Разбиение периода на подпериоды

линия от 0 до T, разделённая на подинтервалы

Теория экстремальных значений: статистическое распределение экстремальных значений
Блочные максимумы:
- Разбиение периода на подпериоды
- Формирование блока из каждого подпериода

линейный интервал с блоками

Теория экстремальных значений: статистическое распределение экстремальных значений
Блочные максимумы:
- Разбиение периода на подпериоды
- Формирование блоков из каждого подпериода
- Набор блочных максимумов = набор данных
Пиковое превышение порога (POT):
- Нахождение всех потерь, превышающих заданный уровень
- Набор таких потерь = набор данных

интервал с блоками и максимальными потерями по каждому блоку

Пример: блочные максимумы за 2007–2009 гг.
- Ресэмплинг потерь с нужным периодом (например, еженедельно)
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
Обобщённое распределение экстремальных значений (GEV)
- Распределение максимумов данных
- Пример: параметрическая оценка с помощью scipy.stats.genextreme
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

VaR 99% из распределения GEV
- Используйте .ppf() для нахождения VaR 99%
- Требуются params из подогнанного распределения GEV
- Определяет максимальные потери за одну неделю с доверительным уровнем 99%
CVaR 99% из распределения GEV
- CVaR — условное математическое ожидание потерь при условии, что VaR является минимальными потерями
- Используйте метод .expect() для нахождения ожидаемого значения

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

Управление рисками: покрытие потерь
- Регуляторные требования (банки, страховые компании)
- Резервы должны обеспечивать покрытие потерь
  - За указанный период (например, одна неделя)
  - При заданном доверительном уровне (например, 99%)
VaR из распределения GEV:
- оценивает максимальные потери
  - за заданный период
  - при заданном доверительном уровне

Пример: начальная стоимость портфеля = $1 000 000
Резервное требование на одну неделю при доверительном уровне 99%
- $\text{VaR}_{99}$ из распределения GEV: максимальные потери за одну неделю при уровне 99%
Резервное требование: стоимость портфеля × $\text{VaR}_{99}$
- Допустим, $\text{VaR}_{99}$ = 0,10, то есть максимальные потери 10%
- Резервное требование = $100 000
Стоимость портфеля изменяется => резервное требование изменяется
Регулятор устанавливает частоту пересмотра резервных требований

Количественное управление рисками на Python