Ядерная оценка плотности

Количественное управление рисками на Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Гистограмма: новый взгляд

Распределения факторов риска
- Предполагаемые (например, нормальное, t-распределение и др.)
- Подобранные (параметрическая оценка, метод Монте-Карло)
- Игнорируемые (историческое моделирование)
Реальные данные: гистограмма
Как представить гистограмму вероятностным распределением?
- Сгладить данные с помощью фильтрации
- Непараметрическая оценка

гистограмма убытков

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы

оси гистограммы

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем

накопление наблюдений

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем

накопление наблюдений

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем

накопление наблюдений

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем
Выбираем конкретный убыток портфеля

убытки и выбранный убыток со стрелкой

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем
Выбираем конкретный убыток портфеля
- Анализируем соседние убытки

окно ядра поверх наблюдений

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем
Выбираем конкретный убыток портфеля
- Анализируем соседние убытки
- Вычисляем «взвешенное среднее» убытков
Ядро: выбор фильтра; определяет «окно»

взвешенное среднее из ядра на изображении

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем
Выбираем конкретный убыток портфеля
- Анализируем соседние убытки
- Вычисляем «взвешенное среднее» убытков
Ядро: выбор фильтра; определяет «окно»
- Перемещаем окно к другому убытку

второе положение ядра

Сглаживание данных

Фильтр: сглаживает «выбросы» гистограммы
Наблюдения накапливаются со временем
Выбираем конкретный убыток портфеля
- Анализируем соседние убытки
- Вычисляем «взвешенное среднее» убытков
Ядро: выбор фильтра; определяет «окно»
- Перемещаем окно к другому убытку
Ядерная оценка плотности: функция плотности вероятности

ядерная оценка плотности

Гауссово ядро

Непрерывное ядро
Взвешивает все наблюдения по расстоянию от центра
В общем случае: доступно множество различных ядер
- Применяется в анализе временных рядов
- Применяется в обработке сигналов

гауссово ядро

KDE в Python

from scipy.stats import gaussian_kde

kde = guassian_kde(losses)

loss_range = np.linspace(np.min(losses),
                np.max(losses),
                1000)

plt.plot(loss_range, kde.pdf(loss_range))

Визуализация: функция плотности вероятности по результатам KDE

график гауссовой ядерной оценки

Вычисление VaR с помощью KDE

VaR: используем метод .resample() из gaussian_kde
Находим квантиль полученной выборки
CVaR: математическое ожидание, как и прежде, но
- у gaussian_kde нет метода .expect() => вычисляем интеграл вручную
- специальный метод .expect() написан для упражнения

sample = kde.resample(size = 1000)

VaR_99 = np.quantile(sample, 0.99)

print("VaR_99 from KDE: ", VaR_99)

VaR_99 from KDE: 0.08796423698448601

Давайте потренируемся!

Количественное управление рисками на Python