Структурные разрывы

Количественное управление рисками на Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Риск и распределение

Инструментарий управления рисками
- Снижение рисков: MPT
- Измерение рисков: VaR, CVaR
Риск: дисперсия, волатильность
- Дисперсия (стандартное отклонение) как мера риска
Связь между риском и распределением факторов риска как случайных величин

Стационарность

Допущение: распределение не меняется со временем
Неизменное распределение = стационарное
Эффективная граница в период глобального финансового кризиса
- Нестационарная
Методы оценки требуют стационарности
- Исторический: неизвестное стационарное распределение по прошлым данным
- Параметрический: предполагаемый класс стационарного распределения
- Метод Монте-Карло: предполагаемое стационарное распределение для случайных выборок

Структурные разрывы

Нестационарность => распределение, возможно, меняется со временем
Предполагаются конкретные моменты изменения
- Данные делятся на подпериоды
- Внутри каждого подпериода предполагается стационарность
Структурный(е) разрыв(ы): точка(и) изменения
- Изменение «тренда» среднего и/или волатильности данных

Пример: рост населения Китая

Период 1950–2019
Тренд примерно линейный...

График численности населения Китая, 1950–2019

Пример: рост населения Китая

Период 1950–2019
Тренд примерно линейный...
...но, по всей видимости, замедляется примерно с 1990 года
Возможный структурный разрыв около 1990 года.
Предполагает изменение распределения прироста населения (рождения – смерти)
Возможные причины: государственная политика, уровень жизни и т. д.

График численности населения Китая со стрелками трендов, 1950–2019

Тест Чоу

Предыдущий пример: визуальные свидетельства структурного разрыва
Количественная оценка: статистическая мера
Тест Чоу:
- Проверка наличия структурного разрыва при линейной модели
- Нулевая гипотеза: разрыва нет
- Требует трёх OLS-регрессий
  - Регрессия для всего периода
  - Две регрессии: _до_ и после разрыва
- Вычисляется сумма квадратов остатков
- Тестовая статистика имеет распределение «F»

Тест Чоу в Python

Гипотеза: структурный разрыв в 1990 году для населения Китая
Предполагается линейная «факторная модель»: $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
OLS-регрессия с помощью объекта OLS из statsmodels за период 1950–2019
- Получение суммы квадратов остатков res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

Тест Чоу в Python

Период 1950–2019 делится на подпериоды 1950–1989 и 1990–2019
OLS-регрессии для каждого подпериода
- Получение res_before.ssr и res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

Тест Чоу в Python

Вычисление F-распределённой тестовой статистики Чоу
- Вычисление числителя
  - k = 2 степени свободы = 2 коэффициента OLS $\alpha$, $\beta$
- Вычисление знаменателя
  - 66 степеней свободы = общее число точек данных (70) − 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

Давайте потренируемся!

Количественное управление рисками на Python