Оценка модели и правдоподобие

Введение в линейное моделирование на Python

Jason Vestuto

Data Scientist

Оценка

График гистограммы: нормализованные частоты по бинам расстояний — серые столбцы данных и красная гауссова колоколообразная кривая модели, плотно подходящая к вершинам столбцов

Оценка

# Define gaussian model function
def gaussian_model(x, mu, sigma):
    coeff_part = 1/(np.sqrt(2 * np.pi * sigma**2))
    exp_part = np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2) )
    return coeff_part*exp_part

# Compute sample statistics
mean = np.mean(sample)
stdev = np.std(sample)

# Model the population using sample statistics
population_model = gaussian(sample, mu=mean, sigma=stdev)

Правдоподобие и вероятность

Условная вероятность: $P( \text{outcome A} | \text{given B})$
Вероятность: $P( \text{data} | \text{model} )$
Правдоподобие: $L( \text{model} | \text{data} )$

Вычисление правдоподобия

График вероятности в зависимости от расстояния: красная гауссова колоколообразная кривая с точкой у левого края и горизонтальным и вертикальным отрезками, соединяющими эту точку с каждой осью

Вычисление правдоподобия

График вероятности в зависимости от расстояния: красная гауссова колоколообразная кривая с 6 точками от левого края к центру, с горизонтальными и вертикальными отрезками, соединяющими каждую точку с обеими осями

Правдоподобие из вероятностей

# Guess parameters
mu_guess = np.mean(sample_distances)
sigma_guess = np.std(sample_distances)

# For each sample point, compute a probability
probabilities = np.zeros(len(sample_distances))
for n, distance in enumerate(sample_distances):
    probabilities[n] = gaussian_model(distance, mu=mu_guess, sigma=sigma_guess)

likelihood = np.product(probs)
loglikelihood = np.sum(np.log(probs))

Метод максимального правдоподобия

# Create an array of mu guesses
low_guess = sample_mean - 2*sample_stdev
high_guess = sample_mean + 2*sample_stdev
mu_guesses = np.linspace(low_guess, high_guess, 101)

# Compute the loglikelihood for each guess
loglikelihoods = np.zeros(len(mu_guesses))
for n, mu_guess in enumerate(mu_guesses):
    loglikelihoods[n] = compute_loglikelihood(sample_distances, mu=mu_guess, sigma=sample_stdev)

# Find the best guess
max_loglikelihood = np.max(loglikelihoods)
best_mu = mu_guesses[loglikelihoods == max_loglikelihood]

Метод максимального правдоподобия

График перевёрнутой параболы с красной точкой в максимуме на осях: логарифмическое правдоподобие в зависимости от значений mu

Давайте потренируемся!

Введение в линейное моделирование на Python