Многомерные t-распределения

Многомерные вероятностные распределения в R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Параметры многомерных распределений

Распределение	Параметр положения	Параметр масштаба
Нормальное	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Скошенное нормальное	`xi`	`Omega`
Скошенное t	`xi`	`Omega`

Параметры многомерных распределений

Распределение	Параметр положения	Параметр масштаба	Степени свободы
Нормальное	`mean`	`sigma`	Нет
t	`delta`	`sigma`	Да
Скошенное нормальное	`xi`	`Omega`	Нет
Скошенное t	`xi`	`Omega`	Да

Сравнение одномерного нормального и одномерного t-распределений

Сравнение

Стандартное нормальное
t с различными df

Сравнение хвостов нормального и t-распределений

Хвосты тяжелее при одинаковом пороге

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Распределение	Вероятность
Нормальное	0,05
t(df=1)	0,3
t(df=8)	0,0857
t(df=20)	0,0641
t(df=30)	0,0593

Обозначение многомерного t-распределения

Обобщение одномерного распределения Стьюдента
- Наиболее распространённая форма имеет единственную степень свободы для всех измерений и обозначается

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Контуры двумерного нормального и t-распределений

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Контуры t-распределения при df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Контуры двумерного нормального распределения

Функции для многомерных t-распределений

Доступные функции:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Генерация случайных выборок

Генерация выборок из трёхмерного t-распределения при $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Сравнение с выборками из нормального распределения

t-распределение с 4 степенями свободы

Нормальное распределение

Сравнение с выборками из нормального распределения

t-распределение с 10 степенями свободы

Нормальное распределение

Давайте потренируемся!

Многомерные вероятностные распределения в R