Накопленное распределение и обратная функция ФРВ

Многомерные вероятностные распределения в R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Когда нужно вычислять ФРВ и обратную ФРВ?

Нормальное распределение с $\mu=210$ и $\sigma=10$

Когда нужно вычислять ФРВ и обратную ФРВ?

Площадь под кривой при $x < 200$

Когда нужно вычислять ФРВ и обратную ФРВ?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

Когда нужно вычислять ФРВ и обратную ФРВ?

Каково $x_0$, при котором накопленная вероятность в точке $x_0$ равна 0,95?

qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)

[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95% банок с кофе будут содержать менее 226,45 граммов кофе

Накопленное распределение для двумерного нормального

Двумерная ФРВ при x = 2 и y = 4 для нормального распределения с ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Накопленное распределение с помощью pmvnorm

Двумерная ФРВ при x = 2 и y = 4 для нормального распределения с ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Вероятность между двумя значениями с помощью pmvnorm

Вероятность $ 1 < x <2$ и $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Вероятность между двумя значениями с помощью pmvnorm

Вероятность $ 1 < x <2$ и $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

Обратная ФРВ для двумерного нормального распределения

Тёмно-красный эллипс — квантиль 0,95

qmvnorm

Вычисление квантилей с помощью qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Красная окружность радиуса 2,24 охватывает 0,95 вероятности

Давайте потренируемся!

Многомерные вероятностные распределения в R