Плотность и кумулятивная плотность для многомерного t-распределения

Многомерные вероятностные распределения в R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Пример многомерного t-распределения

Отдельные акции
- Одномерное t
Портфель (3 акции)
- Многомерное t
Вероятность того, что все три акции в диапазоне $100–150
- pmvt()
Диапазон значений, в котором акции колеблются в 95% случаев
- qmvt()

Плотность с помощью dmvt

dmvt(x, delta = rep(0, p), sigma = diag(p), log = TRUE)

x может быть вектором или матрицей
В отличие от dmvnorm, по умолчанию вычисление выполняется в логарифмической шкале

Чтобы получить значения плотности в натуральной шкале, используйте

dmvt(x, delta = rep(0, p), sigma = diag(p), log = FALSE)

Вычисление плотности многомерного t-распределения на сетке

x <- seq(-3, 6, by = 1); y <- seq(-3, 6, by = 1)
d <- expand.grid(x = x, y = y)                   
del1 <- c(1, 2); sig1 <- matrix(c(1, .5, .5, 2), 2)
dens <- dmvt(as.matrix(d), delta = del1, sigma = sig1, df = 10, log = FALSE)

scatterplot3d(cbind(d, dens), type = "h", zlab = "density")

Влияние изменения числа степеней свободы

Кумулятивная плотность с помощью pmvt

pmvt(lower = -Inf, upper = Inf, delta, sigma, df, ...)

Вычисляет функцию распределения (cdf) или объём — аналогично функции pmvnorm() для нормального распределения

pmvt(lower = c(-1, -2), upper = c(2, 2), delta = c(1, 2), sigma = diag(2), df = 6)

[1] 0.3857
attr(,"error")
[1] 0.0002542
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Обратная функция распределения t-распределения

qmvt(p, interval, tail, delta, sigma, df)

Вычисляет квантиль многомерного t-распределения
Методы вычисления аналогичны функции qmvnorm()

Вычислите квантиль 0,95 при 3 степенях свободы

qmvt( p = 0.95, sigma = diag(2), tail = "both", df = 3)

$quantile
[1] 3.96

$f.quantile
[1] -1.05e-06

attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Давайте потренируемся!

Многомерные вероятностные распределения в R