Многомерные асимметричные распределения

Многомерные вероятностные распределения в R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Асимметричное многомерное распределение: диаграмма рассеяния

Данные проточной цитометрии — боковое рассеяние (SSC) и прямое рассеяние (FSC)

Асимметричное многомерное распределение: контурный график

Данные проточной цитометрии — боковое рассеяние (SSC) и прямое рассеяние (FSC)

Одномерное косонормальное распределение

Общее косонормальное распределение обозначается $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ и $\omega$ — параметры положения и масштаба

Простейшая форма: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ — параметр асимметрии

Диапазон одномерных косонормальных распределений

Сравнение $SN(\alpha)$ со стандартным нормальным распределением

При $\alpha>0$ — скошено вправо
При $\alpha<0$ — скошено влево
$SN(0)$ совпадает со стандартным нормальным

Многомерное косонормальное распределение

Обозначения: трёхмерное многомерное косонормальное распределение

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ — параметр положения (вектор длины $3$)
$\Omega$ — параметр дисперсии-ковариации (матрица $3 \times 3$)
$\alpha$ — параметр асимметрии (вектор длины $3$)

Контурный график двумерного косонормального распределения

Двумерное косонормальное распределение

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Функции для косонормального распределения

Из библиотеки sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Необходимо задать xi, Omega, alpha

Функции для косого t-распределения

Из библиотеки sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Необходимо задать xi, Omega, alpha, nu (число степеней свободы)

Генерация выборок из косонормального распределения

Генерация 2000 выборок из 3-мерного косонормального распределения

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Выборка из косонормального распределения

Генерация выборок из косого t-распределения

Генерация 2000 выборок из 3-мерного косого t-распределения с параметрами

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Оценка параметров по данным

Для оценки параметров косонормального распределения требуется итерационный алгоритм
- Явных формул для вычисления параметров нет
В пакете sn доступно несколько функций, в том числе msn.mle()

Оценка параметров по данным

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Выборки были сгенерированы при:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Давайте потренируемся на задачах с косонормальными распределениями!

Многомерные вероятностные распределения в R