Многомерная байесовская регрессия

Байесовское моделирование с RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Моделирование объёма трафика

$Y_i$ = объём трафика (# пользователей) в день $i$

¹ Фото: commons.wikimedia.org

Моделирование объёма по дням недели

$Y_i$ = объём трафика (# пользователей) в день $i$
$X_i$ = 1 для будних дней, 0 для выходных

$\;$

Моделирование объёма по температуре

$Y_i$ = объём трафика (# пользователей) в день $i$
$Z_i$ = максимальная температура в день $i$ (в $^{\circ}$F)

$\;$

Моделирование объёма по температуре и дням недели

$Y_i$ = объём трафика (# пользователей) в день $i$
$X_i$ = 1 для будних дней, 0 для выходных
$Z_i$ = максимальная температура в день $i$ (в $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Выходные: $m_i = a + c Z_i$

Будние дни: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Моделирование объёма по температуре и дням недели

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Выходные: $m_i = a + c Z_i$

Будние дни: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Моделирование объёма по температуре и дням недели

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Выходные: $m_i = a + c Z_i$

Будние дни: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = точка пересечения с осью Y для выходных
$a+b$ = точка пересечения с осью Y для будних
$b$ = разность точек пересечения: будние vs выходные

$c$ = общий наклон
$s$ = остаточное стандартное отклонение

Априорные распределения для $a$ и $b$

Точка пересечения для зависимости между температурой и объёмом в выходные дни нам достоверно не известна.

Мы не знаем наверняка, как соотносится типичный объём трафика в будние и выходные дни при одинаковой температуре.

Априорные распределения для $c$ и $s$

Связь между объёмом трафика и температурой остаётся неопределённой — как в будние, так и в выходные дни.

Типичное отклонение от тренда равновероятно принимает любое значение от 0 до 200 пользователей.

Байесовская модель объёма по статусу дня

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ байесовской модели в RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Давайте потренируемся!

Байесовское моделирование с RJAGS