Régressions linéaires simples

Analyse des séries chronologiques en Python

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

Qu'est-ce qu'une régression ?

Régression linéaire simple :

$\ \ \ \ y_t = \alpha + \beta x_t + \epsilon_t$

Qu'est-ce qu'une régression ?

Moindres carrés ordinaires (OLS)

Paquetages Python pour effectuer des régressions

Dans statsmodels :

import statsmodels.api as sm
sm.OLS(y, x).fit()

Dans numpy :
```
np.polyfit(x, y, deg=1)
```
Dans pandas :
```
pd.ols(y, x)
```

Dans scipy :

from scipy import stats
stats.linregress(x, y)

Attention : l'ordre de x et y n'est pas uniforme selon les paquetages

Exemple : rendement des petites capitalisations sur les grandes

Importer le module statsmodels
```
import statsmodels.api as sm
```

Comme précédemment, calculer les variations en pourcentage des deux séries

df['SPX_Ret'] = df['SPX_Prices'].pct_change()
df['R2000_Ret'] = df['R2000_Prices'].pct_change()

Ajouter une constante au DataFrame pour l'ordonnée à l'origine
```
df = sm.add_constant(df)
```

Exemple de régression (suite)

Remarquez que la première ligne de rendements est NaN

            SPX_Price  R2000_Price   SPX_Ret  R2000_Ret
Date                                                     
2012-11-01  1427.589966   827.849976       NaN        NaN
2012-11-02  1414.199951   814.369995 -0.009379  -0.016283

Supprimer la ligne de NaN
```
  df = df.dropna()
```

Exécuter la régression

  results = sm.OLS(df['R2000_Ret'],df[['const','SPX_Ret']]).fit()
  print(results.summary())

Exemple de régression (suite)

Résultat de la régression

Interception dans results.params[0]
Pente dans results.params[1]

Exemple de régression (suite)

Résultat de la régression

Lien entre R-carré et corrélation

$ [\text{corr} (x,y)]^2 = R^2$ (ou R-carré)
$ \text{sign(corr)} = \text{sign(regression slope)}$
Dans le dernier exemple :
- R-carré = 0,753
- Pente positive
- corrélation = $ + \sqrt{0.753} = 0.868$

Passons à la pratique !

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