Définition : valeur propre et vecteur propre

Algèbre linéaire pour la science des données en R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Définition

Pour une matrice $A$, le scalaire $\lambda$ est une valeur propre de $A$, avec vecteur propre associé $\vec{v} \neq \vec{0}$, si : $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Autrement dit :

Le produit matriciel $A\vec{v}$, une opération matrice-vecteur, donne le même vecteur que $\lambda \vec{v}$, une multiplication scalaire appliquée à un vecteur.

Cette matrice n'a pas à ressembler aux matrices du dernier cours.

Exemple

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Remarquez que $\lambda = 2$ est une valeur propre de $A$ avec le vecteur propre $\vec{v} = (1, 0)^T$ :

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Motivation géométrique

Exemple : suite

Remarquez que $\lambda = 2$ est une valeur propre de $A$ avec $\vec{v} = (1, 0)^T$ _et_ $\vec{v} = (4, 0)^T$ :

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Passons à la pratique !

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