Résoudre des équations matrice–vecteur

Algèbre linéaire pour la science des données en R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Résoudre $A\vec{x} = \vec{b}$ avec $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$ :

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Vérifier en remplaçant $\vec{x}$ dans l'équation :

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Ce qui est égal au $\vec{b}$ donné :

print(b)

1 -2

Conditions additionnelles pour une solution unique

Ainsi, la seule solution de l'équation homogène $A\vec{x} = \vec{0}$ est la solution triviale $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Si $A$ est une matrice carrée $n$ par $n$, les conditions suivantes sont équivalentes et assurent une solution unique à $$A\vec{x} = \vec{b} :$$

La matrice $A$ a une inverse (est inversible)
Le déterminant de $A$ est non nul
Les lignes et colonnes de $A$ forment une base de l'ensemble de tous les vecteurs à $n$ composantes
L'équation homogène $A\vec{x} = \vec{0}$ n'a que la solution triviale ($\vec{x} = 0$)

Algèbre linéaire pour la science des données en R