Volatilité et valeurs extrêmes

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Hypothèses du test de Chow

Test de Chow : vérifier la signification statistique d'une rupture structurelle possible
Exige : un point de rupture préspécifié
Exige : relation linéaire (p. ex. modèle factoriel) $$ \log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t $$

Image de la croissance de la population chinoise avec point de rupture indiqué

La visualisation de la tendance peut ne pas indiquer le point de rupture
Autre approche : analyser la volatilité plutôt que la tendance
- Le changement structurel s'accompagne souvent d'une plus grande incertitude ⇒ volatilité
- Permet d'envisager des modèles plus riches (p. ex. modèles à volatilité stochastique)

Image de la volatilité mensuelle avec points de rupture possibles

Fenêtre glissante : calculer la volatilité dans le temps et détecter les changements
Rappel : fenêtre glissante de 30 jours
- Créer la fenêtre glissante avec la méthode ".rolling()"
- Calculer la volatilité de la fenêtre glissante (retirer les dates non disponibles)
- Calculer une statistique sommaire, p. ex. .mean(), .min(), etc.

rolling = portfolio_returns.rolling(30)

volatility = rolling.std().dropna()

vol_mean = volatility.resample("M").mean()

import matplotlib.pyplot as plt
vol_mean.plot(
  title="Monthly average volatility"
).set_ylabel("Standard deviation")
plt.show()

Image de la volatilité moyenne mensuelle

Visualiser la volatilité obtenue (variance ou écart-type)
Grandes variations de volatilité ⇒ point(s) de rupture possibles
Utiliser les points proposés dans un modèle linéaire de volatilité
- Variante du test de Chow
Repères pour appliquer p. ex. ARCH, modèles de volatilité stochastique

vol_mean.pct_change().plot(
  title="$\Delta$ average volatility"
).set_ylabel("% $\Delta$ stdev")
plt.show()

Image de la variation en pourcentage de la volatilité mensuelle

VaR, CVaR : perte maximale, perte moyenne au-delà d'un niveau de confiance donné
Visualiser l'évolution de la perte maximale en traçant la VaR ?
- Utile pour les grands ensembles de données
- Petits ensembles : information insuffisante
Autre option : repérer les pertes dépassant un seuil
Exemple : $\text{VaR}_{95}$ est la perte maximale 95 % du temps
- Donc 5 % du temps, les pertes devraient dépasser $\text{VaR}_{95}$
Rétro‑analyse (backtesting) : utiliser des données passées ex post pour évaluer l'estimation du risque
- Très utilisée en gestion des risques d'entreprise

Supposons $\text{VaR}_{95} = 0.03$
Les pertes au‑delà de 3 % sont alors des valeurs extrêmes
Rétro‑analyse : environ 5 % (100 % - 95 %) des pertes passées devraient dépasser 3 %
- Plus de 5 % : distribution à queues plus larges (« plus épaisses »)
- Moins de 5 % : distribution à queues plus étroites
CVaR pour la rétro‑analyse : tient mieux compte de la queue que la VaR

Image des pertes et seuil de VaR à 95 %

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