Théorie des valeurs extrêmes

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Valeurs extrêmes

Valeurs extrêmes : issues de la queue de la distribution
- Pertes en queue : pertes dépassant une valeur donnée
- Modéliser les pertes en queue ⇒ meilleure gestion du risque

Théorie des valeurs extrêmes : distribution statistique des valeurs extrêmes
Maxima par blocs

intervalle de 0 à T

Théorie des valeurs extrêmes : distribution statistique des valeurs extrêmes
Maxima par blocs :
- Découper la période en sous-périodes

ligne de 0 à T divisée en sous-intervalles

Théorie des valeurs extrêmes : distribution statistique des valeurs extrêmes
Maxima par blocs :
- Découper la période en sous-périodes
- Former un bloc pour chaque sous-période

intervalle avec blocs

Théorie des valeurs extrêmes : distribution statistique des valeurs extrêmes
Maxima par blocs :
- Découper la période en sous-périodes
- Former des blocs pour chaque sous-période
- L'ensemble des maxima de blocs = jeu de données
Dépassement de seuil (POT) :
- Relever toutes les pertes au-dessus d'un niveau donné
- L'ensemble de ces pertes = jeu de données

intervalle avec blocs et perte maximale par bloc

Exemple : maxima par blocs pour 2007 - 2009
- Rééchantillonner les pertes à la période voulue (p. ex. hebdomadaire)
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
Distribution généralisée des valeurs extrêmes (GEV)
- Distribution des maxima des données
- Exemple : estimation paramétrique avec scipy.stats.genextreme
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

VaR 99 % à partir de la distribution GEV
- Utiliser la fonction .ppf() (percent point) pour trouver la VaR 99 %
- Nécessite params de la GEV ajustée
- Donne la perte maximale sur une semaine à 99 % de confiance
CVaR 99 % à partir de la distribution GEV
- La CVaR est l'espérance conditionnelle de la perte étant donné la VaR comme perte minimale
- Utiliser la méthode .expect() pour l'espérance

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

Gestion du risque : couvrir les pertes
- Exigence réglementaire (banques, assurances)
- Des réserves doivent être disponibles pour couvrir les pertes
  - Pour une période donnée (p. ex. une semaine)
  - À un niveau de confiance donné (p. ex. 99 %)
VaR à partir de la GEV :
- estime la perte maximale
  - pour une période donnée
  - à un niveau de confiance donné

Exemple : valeur initiale du portefeuille = 1 000 000 $
Exigence de réserve d'une semaine à 99 % de confiance
- $\text{VaR}_{99}$ de la GEV : perte maximale sur une semaine à 99 % de confiance
Exigence de réserve : valeur du portefeuille × $\text{VaR}_{99}$
- Supposons $\text{VaR}_{99}$ = 0,10, soit 10 % de perte maximale
- Exigence de réserve = 100 000 $
La valeur du portefeuille varie ⇒ l'exigence de réserve varie
La réglementation fixe la fréquence de mise à jour des réserves

Gestion quantitative des risques en Python