Ruptures structurelles

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Risque et distribution

Trousse de gestion du risque
- Atténuation du risque : MPT
- Mesure du risque : VaR, CVaR
Risque : dispersion, volatilité
- Variance (écart type) comme définition du risque
Lien entre le risque et la distribution des facteurs de risque comme variables aléatoires

Stationnarité

Hypothèse : la distribution est la même dans le temps
Distribution inchangée = stationnaire
Frontière efficiente durant la crise financière mondiale
- Non stationnaire
Les techniques d'estimation exigent la stationnarité
- Historique : distribution stationnaire inconnue à partir des données passées
- Paramétrique : classe de distributions supposée stationnaire
- Monte Carlo : distribution supposée stationnaire pour les tirages aléatoires

Ruptures structurelles

Non stationnaire ⇒ la distribution change peut-être dans le temps
Poser des points précis de changement dans le temps
- Scinder les données en sous-périodes
- Au sein de chaque sous-période, supposer la stationnarité
Rupture structurelle(s) : point(s) de changement
- Changement de la « tendance » de la moyenne et/ou de la volatilité des données

Exemple : croissance de la population chinoise

Examiner la période 1950 - 2019
Tendance approximativement linéaire...

Graphique de la population de la Chine dans le temps, 1950-2019

Exemple : croissance de la population chinoise

Examiner la période 1950 - 2019
Tendance approximativement linéaire...
...mais elle semble ralentir vers 1990
Rupture structurelle possible près de 1990.
Suppose que la distribution du solde naturel (naissances − décès) a changé
Raisons possibles : politiques publiques, niveau de vie, etc.

Graphique de la population de la Chine dans le temps avec flèches de tendance, 1950-2019

Le test de Chow

Exemple précédent : indice visuel d'une rupture structurelle
Quantification : mesure statistique
Test de Chow :
- Tester l'existence d'une rupture structurelle dans un modèle linéaire
- Hypothèse nulle : aucune rupture
- Nécessite trois régressions MCO
  - Régression sur la période entière
  - Deux régressions, avant et après la rupture
- Recueillir la somme des résidus au carré
- La statistique de test suit une distribution « F »

Le test de Chow en Python

Hypothèse : rupture structurelle en 1990 pour la population chinoise
Supposer un « modèle factoriel » linéaire : $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
Régression MCO avec l'objet OLS de statsmodels sur toute la période 1950 - 2019
- Récupérer la somme des résidus au carré res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

Le test de Chow en Python

Scinder 1950 - 2019 en sous-périodes 1950 - 1989 et 1990 - 2019
Effectuer des régressions MCO sur chaque sous-période
- Récupérer res_before.ssr et res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

Le test de Chow en Python

Calculer la statistique de test de Chow (distribution F)
- Calculer le numérateur
  - k = 2 degrés de liberté = 2 coefficients MCO $\alpha$, $\beta$
- Calculer le dénominateur
  - 66 degrés de liberté = nombre total de points (70) − 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

Passons à la pratique !

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