Mesurer le risque

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

CEO, Shorish Research

La distribution des pertes

Exemple Forex :
- Valeur du portefeuille en dollars US : USD 100
- Facteur de risque = taux de change /
- Valeur en EURO si 1 = 1 : USD 100 × EUR 1 / USD 1 = EUR 100.
- Valeur en EURO si r = 1 : USD 100 × EUR r / 1 USD = EUR 100 × r
- Perte = EUR 100 − EUR 100 × r = EUR 100 × (1 − r)

Distribution des pertes : réalisations aléatoires de r ⇒ distribution des pertes futures du portefeuille

Histogram of forex losses

Perte maximale

Quelle est la perte maximale d'un portefeuille ?
On ne peut pas borner les pertes avec 100 % de certitude
Niveau de confiance : remplacer la certitude de 100 % par la probabilité d'une borne supérieure
On peut formuler : « Quelle est la perte maximale qui surviendrait 95 % du temps ? »
- Ici, le niveau de confiance est de 95 %.

Value at Risk (VaR)

VaR : statistique mesurant la perte maximale du portefeuille à un niveau de confiance donné
Niveaux de confiance usuels : 95 %, 99 % et 99,5 % (souvent en décimales)
Exemple Forex : si, 95 % du temps, le taux EUR/USD est au moins 0,40, alors :
- la valeur du portefeuille est au moins USD 100 × 0,40 EUR/USD = EUR 40,
- la perte du portefeuille est au plus EUR 40 − EUR 100 = EUR 60,
- donc la VaR à 95 % est de EUR 60.

Time series of EUR/USD exchange rate with 0.40 cutoff

Conditional Value at Risk (CVaR)

CVaR : mesure la perte espérée étant donné une perte minimale égale à la VaR
Égale à la valeur attendue de la queue de la distribution des pertes :
- $$\textnormal{CVaR}(\alpha) := \frac{1}{1-\alpha}\mathbb{E} \int_{\textnormal{VaR}(\alpha)}^{\bar{x}} x f(x) dx,$$
- $f(\cdot)$ = pdf de la distribution des pertes
- $\bar{x}$ = borne supérieure des pertes (peut être l'infini)
- $\textnormal{VaR}(\alpha)$ = VaR au niveau de confiance $\alpha$.

Exemple Forex :
- CVaR 95 % = perte attendue pour les 5 % de cas où la valeur du portefeuille est inférieure à EUR 40

Plot of the loss distribution, showing the VaR and CVaR tail dependence

Calculer la VaR

Indiquer le niveau de confiance, p. ex. 95 % (0,95)
Créer une Series d'observations loss
Calculer loss.quantile() au niveau de confiance indiqué
VaR = .quantile() calculé au niveau souhaité
Distribution des pertes avec scipy.stats : la fonction centile .ppf() peut aussi être utilisée

loss = pd.Series(observations)

VaR_95 = loss.quantile(0.95)
print("VaR_95 = ", VaR_95)

Var_95 = 1.6192834157254088

Calculer la CVaR

Indiquer le niveau de confiance, p. ex. 95 % (0,95)
Créer ou utiliser un échantillon de la distribution des pertes
Calculer la VaR au niveau de confiance indiqué, p. ex. 0,95
Calculer la CVaR comme perte attendue (loi normale : scipy.stats.norm.expect() le fait).

losses = pd.Series(scipy.stats.norm.rvs(size=1000))

VaR_95 = scipy.stats.norm.ppf(0.95)

CVaR_95 = (1/(1 - 0.95))*scipy.stats.norm.expect(lambda x: x, lb = VaR_95)

print("CVaR_95 = ", CVaR_95)

CVaR_95 = 2.153595332530393

Visualiser la VaR

Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)

Histogram of normally-distributed losses

Visualiser la VaR

Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)
- VaR$_{95}$ = 5,72, soit la VaR à 95 % de confiance

Histogram of losses with the 95% VaR

Visualiser la VaR

Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)
- VaR$_{95}$ = 5,72, soit la VaR à 95 % de confiance
- VaR$_{99}$ = 7,81, soit la VaR à 99 % de confiance

Histogram of losses with the 95% and 99% VaR

Visualiser la VaR

Histogramme de la distribution des pertes pour 1 000 tirages de N(1,3)
- VaR$_{95}$ = 5,72, soit la VaR à 95 % de confiance
- VaR$_{99}$ = 7,81, soit la VaR à 99 % de confiance
- VaR$_{99,5}$ = 8,78, soit la VaR à 99,5 % de confiance
La mesure VaR augmente quand le niveau de confiance monte

Histogram of losses with the 95%, 99% and 99.5% VaR

Passons à la pratique !

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