Couverture de portefeuille : compenser le risque

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Stabilité du portefeuille

  • VaR/CVaR : perte potentielle du portefeuille pour un niveau de confiance donné
  • Optimisation de portefeuille : pondérations « optimales »
    • Mais la volatilité demeure !
  • Investisseurs institutionnels : stabilité face aux variations volatiles
    • Caisses de retraite : env. 20 billions USD
Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo

Image de lunettes de soleil sur un radeau jaune

Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo (pluie)
    • Plus de pluie ⇒ valeur de l'entreprise en baisse
    • Valeur en baisse ⇒ prix de l'action en baisse
    • Prix de l'action en baisse ⇒ valeur du portefeuille en baisse

Image de lunettes de soleil sur un radeau jaune   Image de gouttes de pluie sur une vitre

Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo (pluie)
    • Plus de pluie ⇒ valeur de l'entreprise en baisse
    • Valeur en baisse ⇒ prix de l'action en baisse
    • Prix de l'action en baisse ⇒ valeur du portefeuille en baisse
  • Deuxième occasion : entreprise de parapluies
    • Plus de pluie ⇒ plus de valeur !

Image de parapluies multicolores pliés dans un support

Gestion quantitative des risques en Python

Jours de pluie, jours de soleil

  • Portefeuille : entreprise de lunettes de soleil
    • Facteur de risque : météo (pluie)
    • Plus de pluie ⇒ valeur de l'entreprise en baisse
    • Valeur en baisse ⇒ prix de l'action en baisse
    • Prix de l'action en baisse ⇒ valeur du portefeuille en baisse
  • Deuxième occasion : entreprise de parapluies
    • Plus de pluie ⇒ plus de valeur !
  • Portefeuille : lunettes et parapluies, plus stable
    • La volatilité liée à la pluie est compensée

Image de lunettes de soleil sur un radeau jaune   Image de parapluies multicolores pliés dans un support

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Couverture

  • Couverture (hedging) : compenser la volatilité avec un autre actif
  • Crucial pour la gestion du risque des investisseurs institutionnels
  • Flux de rendement additionnel évoluant à l'inverse du portefeuille
  • Utilisée dans les caisses de retraite, le ForEx, les contrats à terme, les dérivés…
    • 2019 : marché des fonds de couverture env. 3,6 billions USD
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Instruments de couverture : options

  • Dérivé : instrument de couverture
  • Option européenne : dérivé très répandu
    • Option d'achat européenne : droit (pas l'obligation) d'acheter l'action à prix fixe $X$ à la date $M$
    • Option de vente européenne : droit (pas l'obligation) de vendre l'action à prix fixe $X$ à la date $M$
    • L'action = « sous-jacent » de l'option
      • Prix courant $S$ = cours au comptant
    • $X$ = prix d'exercice
    • $M$ = échéance
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Évaluation des options : Black‑Scholes

  • La valeur d'une option varie avec le prix du sous-jacent ⇒ peut couvrir le risque
  • Il faut évaluer l'option : suppose des hypothèses sur le marché, le sous-jacent, le taux d'intérêt, etc.
  • Formule d'évaluation de Black-Scholes : Fisher Black et le Nobel Myron Scholes (1973)
    • Nécessite pour chaque instant $t$ :
      • cours au comptant $S$
      • prix d'exercice $X$
      • temps jusqu'à l'échéance $T := M - t$
      • taux sans risque $r$
      • volatilité des rendements du sous-jacent $\sigma$ (écart type)
1 Black, F. et M. Scholes (1973). « The Pricing of Options and Corporate Liabilities », Journal of Political Economy, vol. 81, no 3, p. 637–654.{{3}}
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Hypothèses de la formule de Black‑Scholes

  • Structure du marché
    • Marchés efficients
    • Absence de coûts de transaction
    • Taux d'intérêt sans risque
  • Action sous-jacente
    • Aucun dividende
    • Rendements distribués normalement
  • Calculatrice en ligne : https://www.math.drexel.edu/~pg/fin/VanillaCalculator.html
  • Fonction Python black_scholes() : lien vers le code source dans les exercices
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Calculer la valeur d'une option Black‑Scholes

  • Formule d'évaluation Black‑Scholes black_scholes()
  • Paramètres requis : $S$, $X$, $T$ (fraction d'année), $r$, $\sigma$
  • Utilisez option_type (« call » ou « put ») souhaité

 

S = 70; X = 80; T = 0.5; r = 0.02; sigma = 0.2

option_value = black_scholes(S, X, T, r, sigma, option_type = "put")

print(option_value)

10.31222171237868
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Couvrir une position en action avec une option

  • Couvrir une action avec une option de vente européenne : même sous-jacent que l'action du portefeuille
  • Le cours au comptant $S$ baisse ($\Delta S < 0$) ⇒ la valeur de l'option $V$ monte ($\Delta V > 0$)
  • Delta d'une option : $\Delta := \frac{\partial V}{\partial S}$
  • Couvrir une action avec $\frac{1}{\Delta}$ options
  • Delta neutre : $\Delta S + \frac{\Delta V}{\Delta} = 0$ ; action couverte !
  • Fonction Python bs_delta() : calcule le delta de l'option
    • Lien vers le code source dans les exercices
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Passons à la pratique !

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