Exposition au risque et perte

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Une analogie de vacances

Réservations d'hôtel pour des vacances
Payer d'avance, avant le séjour
- Tarif bas
- Non remboursable : frais d'annulation = 100 % du tarif
Payer à l'arrivée
- Tarif élevé
- Partiellement remboursable : frais d'annulation de 20 % du tarif

Image d'un bateau près d'une plage des Caraïbes

Dessin de trois enfants malades au lit avec des thermomètres dans la bouche

Image d'une échelle de risque et d'argent pour la gestion des risques

Exposition au risque : probabilité de perte × mesure de perte
- Mesure de perte : p. ex. VaR
10 % de probabilité d'annuler les vacances : P(maladie) = 0,10
Non remboursable :
- Coût total non remboursable de l'hôtel : 500 €
- VaR au niveau de confiance de 90 % : 500 €
Partiellement remboursable :
- Coût de l'hôtel remboursable : 550 €
- VaR au niveau de confiance de 90 % : frais de 20 % × 550 € = 110 €

Exposition non remboursable (« $\text{nr}$ ») :
- P(maladie) × $\text{VaR}_{0.90}^{\text{nr}}$ = 0,10 × 500 € = 50 €.
Exposition partiellement remboursable (« $\text{pr}$ ») :
- P(maladie) × $\text{VaR}_{0.90}^{\text{pr}}$ = 0,10 × 110 € = 11 €.
Différence d'exposition au risque : 50 € − 11 € = 39 €.
Différence de prix totale entre les offres : 550 € − 500 € = 50 €.
Tolérance au risque : payer 50 € de plus vaut-il d'éviter 39 € d'exposition additionnelle ?

Neutre au risque : seuls les valeurs attendues comptent
- 39 € < 50 € $\Rightarrow$ préférer l'option non remboursable
Averse au risque : l'incertitude a un coût en soi
- 39 € < 50 € $\Rightarrow$ préférer l'option partiellement remboursable
Gestion des risques d'entreprise/institution : préférences = appétence pour le risque
Investisseurs individuels : préférences = tolérance au risque

L'exposition au risque dépend de la distribution des pertes (probabilité de perte)
Exemple vacances : 2 issues d'un facteur de risque aléatoire

Histogramme des pertes binaires de l'exemple de vacances

L'exposition au risque dépend de la distribution des pertes (probabilité de perte)
Exemple vacances : 2 issues d'un facteur de risque aléatoire
Plus généralement : distribution de pertes continue
- Distribution normale : adaptée aux grands échantillons

Image d'une distribution normale continue

L'exposition au risque dépend de la distribution des pertes (probabilité de perte)
Exemple vacances : 2 issues d'un facteur de risque aléatoire
Plus généralement : distribution de pertes continue
- Distribution normale : adaptée aux grands échantillons
- Distribution t de Student : adaptée aux petits échantillons

Image d'une distribution T continue des pertes

Aussi appelée distribution T
A des queues plus « grosses » que la Normale pour de petits échantillons
- Semblable aux rendements/pertes de portefeuille
Quand l'échantillon grandit, la T converge vers la Normale

Image d'une distribution continue des pertes

Exemple : calculer la VaR à 95 % à partir de la distribution T
- Importer la distribution t de scipy.stats
- Ajuster les données portfolio_loss avec t.fit()

from scipy.stats import t

params = t.fit(portfolio_losses)

Image d'une distribution continue des pertes

Exemple : calculer la VaR à 95 % à partir de la distribution T
- Importer la distribution t de scipy.stats
- Ajuster les données portfolio_loss avec t.fit()
- Calculer la fonction de point percentiel avec .ppf() pour trouver la VaR

from scipy.stats import t

params = t.fit(portfolio_losses)

VaR_95 = t.ppf(0.95, *params)

Image d'une distribution T continue des pertes avec VaR

x = np.linspace(-3, 3, 100)

plt.plot(x, t.pdf(x, df = 2))

plt.plot(x, t.pdf(x, df = 5))

plt.plot(x, t.pdf(x, df = 30))

Image de la distribution T pour 30 degrés de liberté

Gestion quantitative des risques en Python