Simulation historique et de Monte Carlo

Gestion quantitative des risques en Python

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Simulation historique

Aucune classe de distributions adéquate ?
Simulation historique : utiliser le passé pour prévoir l'avenir
- Aucune hypothèse de distribution requise
- Les pertes passées deviennent des pertes simulées pour demain

Simulation historique en Python

VaR : partir des rendements dans asset_returns
Calculer portfolio_returns à l'aide des weights du portefeuille
Convertir portfolio_returns en losses
VaR : calculer np.quantile() de losses, p. ex. au niveau de confiance de 95 %
Suppose que la distribution future des pertes est exactement la même que dans le passé

weights = [0.25, 0.25, 0.25, 0.25]

portfolio_returns = asset_returns.dot(weights)

losses = - portfolio_returns

VaR_95 = np.quantile(losses, 0.95)

Simulation de Monte Carlo

Simulation de Monte Carlo : puissante combinaison d'estimation paramétrique et de simulation
- Suppose une ou des distributions pour la perte du portefeuille et/ou les facteurs de risque
- S'appuie sur des tirages aléatoires dans ces distributions pour créer une trajectoire aléatoire, appelée exécution
- Répéter les tirages $\Rightarrow$ crée un ensemble d'exécutions de simulation
Calculer la perte simulée du portefeuille pour chaque exécution jusqu'au temps visé
Estimer la VaR comme le quantile des pertes simulées

Simulation de Monte Carlo en Python

Étape 1 :
- Importer la distribution Normale norm de scipy.stats
- Définir total_steps (1 jour = 1440 minutes)
- Définir le nombre d'exécutions N
- Calculer la moyenne mu et l'écart type sigma des portfolio_losses

from scipy.stats import norm

total_steps = 1440

N = 10000

mu = portfolio_losses.mean()
sigma = portfolio_losses.std()

Simulation de Monte Carlo en Python

Étape 2 :
- Initialiser le vecteur daily_loss pour N exécutions
- Boucler sur N exécutions
  - Calculer le vecteur loss simulé par Monte Carlo
    - Utilise norm.rvs() pour tirer à répétition de la distribution Normale standard
    - Tirages ajustés aux données avec mu et sigma mis à l'échelle par 1/total_steps

daily_loss = np.zeros(N)

for n in range(N):

    loss = ( mu * (1/total_steps) + 
      norm.rvs(size=total_steps) * sigma * np.sqrt(1/total_steps) )

Simulation de Monte Carlo en Python

Étape 3 :
- Générer la daily_loss cumulative pour chaque exécution n
- Utiliser np.quantile() pour obtenir la VaR à 95 % p. ex., sur daily_loss

daily_loss = np.zeros(N)
for n in range(N):

    loss = mu * (1/total_steps) + ...
      norm.rvs(size=total_steps) * sigma * np.sqrt(1/total_steps)

    daily_loss[n] = sum(loss)

VaR_95 = np.quantile(daily_loss, 0.95)

Simuler les rendements d'actif

Perfectionnement : générer des trajectoires aléatoires des rendements d'actif du portefeuille
- Plus réaliste : les rendements peuvent être simulés individuellement
- Les rendements d'actif peuvent être corrélés
  - Rappel : matrice de covariance efficiente e_cov
  - Utilisée à l'étape 2 pour calculer les rendements d'actif
Exercices : simulation de Monte Carlo avec simulation des rendements d'actif

Passons à la pratique !

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