Le modèle autorégressif

Analyse des séries chronologiques en R

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

Le modèle autorégressif - I

Récurrence autorégressive (AR) :

$Today = Constant + Slope * Yesterday + Noise $

Version centrée sur la moyenne :

$(Today - Mean) = $

$ Slope*(Yesterday - Mean) + Noise $

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Le modèle autorégressif - II

$$(Today - Mean) = $$

$$Slope * (Yesterday - Mean) + Noise$$

Plus formellement : $$ Y_t - \mu = \phi (Y_{t-1} - \mu ) + \epsilon_t$$ où $ \epsilon_t$ est un bruit blanc (WN) de moyenne nulle.

  • La moyenne $ \mu$
  • La pente $ \phi$
  • La variance du WN $ \sigma ^2$
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Processus AR - I

$$Y_t - \mu = \phi(Y_{t-1} - \mu) + \epsilon_t$$

  • Si la pente $ \phi = 0 $ alors : $Y_t = \mu + \epsilon_t $ et

$Y_t$ est un bruit blanc : $(\mu, \sigma _{\epsilon}^2)$

  • Si la pente $ \phi \neq 0 $ alors : $ Y_t$ dépend à la fois de $ \epsilon_t$ et de $ Y_{t-1} $

Et le processus {${Y_t}$} est autocorrélé

  • De grandes valeurs de $ \phi$ entraînent une autocorrélation plus forte

  • Des valeurs négatives de $ \phi$ produisent des séries temporelles oscillatoires

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Exemples d'AR

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Autocorrélations

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Marche aléatoire

Si $ \mu = 0$ et la pente $ \phi = 1$, alors :

$$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$

Ce qui donne :

$Today = Yesterday + Noise $

Il s'agit d'une marche aléatoire.

Et {$ Y_t $} n'est pas stationnaire dans ce cas.

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Passons à la pratique !

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