Le modèle de marche aléatoire (RW)

Analyse des séries chronologiques en R

David S. Matteson

Associate Professor at Cornell University

Marche aléatoire

La marche aléatoire (RW) est un exemple simple de processus non stationnaire.

Une marche aléatoire a :

  • Aucune moyenne ni variance définies.
  • Une forte dépendance dans le temps.
  • Des variations (incréments) de bruit blanc (WN).
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Marche aléatoire

Graphiques de séries temporelles d'une marche aléatoire :

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Marche aléatoire

Récurrence de la marche aléatoire :

$$Today = Yesterday + Noise$$

Plus formellement :

$$ Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$

où $\epsilon_t$ est un bruit blanc (WN) de moyenne nulle.

  • La simulation nécessite un point initial $Y_0$.

  • Un seul paramètre : la variance du WN $\sigma^{2}_{\epsilon}$.

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Marche aléatoire - I

Le processus de marche aléatoire :

$$Y_t = Y_{t-1} + \epsilon_t$$

où $\epsilon_t$ est un WN de moyenne nulle

Comme $Y_t - Y_{t-1} = \epsilon_t \rightarrow $ diff(Y) est un WN

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Marche aléatoire - II

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Marche aléatoire avec dérive - I

Marche aléatoire avec dérive :

$$Today = Constant + Yesterday + Noise$$

Plus formellement : $$Y_t = c + Y_{t-1} + \epsilon_t$$

où $\epsilon_t$ est un bruit blanc (WN) de moyenne nulle.

  • Deux paramètres : la constante $c$ et la variance du WN $\sigma_{\epsilon}^2$.
  • $Y_t - Y_{t-1} = $ ? $\rightarrow$ WN de moyenne $c$ !
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Marche aléatoire avec dérive - II

Graphiques de séries temporelles d'une marche aléatoire avec dérive :

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Passons à la pratique !

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