Inférence sur des variables transformées
Inférence pour la régression linéaire en R
Jo Hardin
Professor, Pomona College
Interpréter les coefficients — linéaire
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, où $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[Y_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[Y_{X+1}] - E[Y_X]$
Interpréter les coefficients — X non linéaire
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, où $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[Y_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[Y_{\ln(X)+1}] - E[Y_{\ln(X)}]$
Interpréter les coefficients — Y non linéaire
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, où $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[\ln(Y)_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{X+1}] - E[\ln(Y)_X]$
Interpréter les coefficients — X et Y non linéaires
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, où $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
Interpréter les coefficients — deux logarithmes naturels (cas particulier)
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, où $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
OU (quand $X$ et $Y$ sont tous deux transformés avec le logarithme naturel) :
$\beta_1 = $ variation en pourcentage de $Y$ pour chaque variation de 1 % de $X$
Passons à la pratique !
Inférence pour la régression linéaire en R
