Régression et prévision

Analyse bayésienne des données en Python

Michal Oleszak

Machine Learning Engineer

Régression linéaire

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ...$$

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

Inférence fréquentiste :
- $\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending} + \varepsilon$
- $\varepsilon \sim \mathcal{N} (0, \sigma)$

Inférence bayésienne :
- $\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

Loi normale

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)




sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")



plt.show()

Une densité de la loi normale standard, avec un sommet à 0 et symétrique autour.

Loi normale

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)


sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")


plt.show()

Une densité de la loi normale, avec un sommet à 3 et symétrique autour.

Loi normale

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)
normal_0_3 = np.random.normal(0, 3, size=10000)

sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")
sns.kdeplot(normal_0_3, shade=True, label="N(0,3)")

plt.show()

Une densité de la loi normale standard, avec un sommet à 0 et symétrique autour.

Définition du modèle de régression bayésienne

$$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$$

$$\beta_0 \sim \mathcal{N} (5, 2)$$

$$\beta_1 \sim \mathcal{N} (2, 10)$$

$$\sigma \sim \mathcal{Unif} (0, 3)$$

On s'attend à 5 000 ventes sans marketing.
On s'attend à +2 000 ventes pour chaque 1 000 dépensé.
A priori uniforme pour l'écart type, car il est inconnu.

Estimer les paramètres de régression

Approximation par grille → peu pratique avec plusieurs paramètres
Choisir des antérieurs conjugués et simuler d'une postérieure connue → antérieurs peu intuitifs
Troisième voie : simuler la postérieure même avec des antérieurs non conjugués !
Pour l'instant, supposez que les tirages de paramètres sont donnés

Tracer la postérieure

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

print(marketing_spending_draws)

array([9.6153, 8.9922, ..., 4.59565])

import pymc3 as pm

pm.plot_posterior(
  marketing_spending_draws, 
  hdi_prob=0.95
)

Un tracé de densité avec la moyenne et l'intervalle crédible indiqués.

Analyse des tirages de la postérieure

posterior_draws_df = pd.DataFrame({
    "intercept_draws": intercept_draws,
    "marketing_spending_draws": marketing_spending_draws,
    "sd_draws": sd_draws
})

print(posterior_draws_df)

       intercept_draws  marketing_spending_draws      sd_draws
count     10000.000000              10000.000000  10000.000000
mean          2.972130                  5.999146      1.337621
std           3.008565                  2.020708      0.471723
min          -8.562093                 -2.842438      0.029643
25%           0.972832                  4.621807      1.003229
50%           3.002940                  5.975067      1.427617
75%           5.020615                  7.362572      1.736310
max          15.228549                 13.258955      1.999834

Distribution prédictive

À combien de ventes s'attendre si l'on dépense 1 000 $ en marketing ?

$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

# Get point estimates of parameters
intercept_mean = intercept_draws.mean()
marketing_spending_mean = marketing_spending_draws.mean()
sd_mean = sd_draws.mean()


# Calculate mean of predictive distribution
predictive_mean = intercept_mean + marketing_spending_mean * 1000


# Simulate from predictive distribution
prediction_draws = np.random.normal(predictive_mean, sd_mean, size=10000)

Distribution prédictive

À combien de ventes s'attendre si l'on dépense 1 000 $ en marketing ?

Une densité en cloche des ventes prévues, culminant autour de 5 986.

Régressons et prévoyons !

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