Valeur attendue, moyenne et variance

Fondements de la probabilité en Python

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Valeur attendue

Valeur attendue : somme des issues possibles pondérées par leur probabilité.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

La valeur attendue d'une variable aléatoire discrète est la somme des issues possibles pondérées par leur probabilité.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Dans notre cas, pour un lancer de pièce :

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$

La valeur attendue d'une variable aléatoire discrète est la somme des issues possibles pondérées par leur probabilité.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Dans notre cas, pour un lancer de pièce :

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$

Chaque $x_i$ est l'issue d'une expérience (p. ex., un lancer de pièce, 0 ou 1).

$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$

En Python, nous utiliserons la fonction scipy.stats.describe() pour obtenir la moyenne arithmétique.

from scipy.stats import describe
describe([0,1]).mean

0.5

Graphique de la moyenne d'échantillon pour 100 lancers de pièce équitable

Graphique de la moyenne d'échantillon pour 1000 lancers de pièce équitable

Graphique de la moyenne d'échantillon pour 10000 lancers de pièce équitable

La variance mesure la dispersion.

C'est la valeur attendue de l'écart au carré par rapport à sa valeur attendue.

$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$

En Python, nous utiliserons la fonction scipy.stats.describe() pour obtenir la variance d'échantillon.

describe([0,1]).variance

0.5

Pour $X\sim Binomial(n, p)$

$$ E(X) = n \times p $$

$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$

Exemple : $n=10$ et $p=0.5$

En Python, nous utiliserons la méthode binom.stats() pour obtenir la valeur attendue et la variance.

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))

Quelles sont la valeur attendue et la variance pour un seul lancer de pièce équitable ?

binom.stats(n=1, p=0.5)

(array(0.5), array(0.25))

Quelles sont la valeur attendue et la variance pour un lancer biaisé avec 30 % de probabilité de succès ?

binom.stats(n=1, p=0.3)

(array(0.3), array(0.21))

Quelles sont la valeur attendue et la variance pour 10 lancers de pièce équitable ?

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))

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