La loi normale

Gestion des risques quantitatifs en R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Définition de la normale

  • Si les facteurs de risque suivent un GBM, alors les rendements logarithmiques sont indépendants et normaux
  • Est-ce le cas ?
  • Une variable x est normale si sa densité est :

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Dépend de deux paramètres : $\mu$ et $\sigma$
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Propriétés de la normale

  • $\mu$ est la moyenne et $\sigma ^ 2$ la variance
  • Notation usuelle : $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Paramètres faciles à estimer à partir des données
  • La somme de 2+ variables normales indépendantes est aussi normale
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Théorème central limite (TCL)

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Comment estimer une loi normale

  • Données : $X_1,...,X_n$
  • Méthode des moments :

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Application aux rendements log du FTSE en 2008-09
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Exemple FTSE

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
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Afficher la normale ajustée

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

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Passons à la pratique !

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