La loi t de Student

Gestion des risques quantitatifs en R

Alexander McNeil

Professor, University of York

La loi t de Student

$$f_X(x) = \frac{\Gamma({\frac{\nu+1}{2}})}{\sigma \sqrt{\nu\pi} \, \Gamma(\frac{\nu}{2})}{\left(1 + \frac{({x- \mu})^2} {\nu \sigma ^ 2}\right)}^{-\frac{\nu + 1}{2}} $$

Cette loi a trois paramètres : $\mu, \sigma, \nu$
De petites valeurs de $\nu$ donnent des queues plus épaisses
Quand $\nu$ augmente, la loi tend vers la normale

Ajuster la loi t de Student

Méthode du maximum de vraisemblance (MV)
fit.st() du paquet QRM
Petite valeur de $\nu$ (2,95) pour les rendements logarithmiques du FTSE en 2008-09

library(QRM)

tfit <- fit.st(ftse)
tpars <- tfit$par.ests
tpars

          nu             mu          sigma
2.949514e+00   4.429863e-05   1.216422e-02

nu <- tpars[1]
mu <- tpars[2]
sigma <- tpars[3]

Afficher la loi t de Student ajustée

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)
lines(ftse, dnrom(ftse, mean = mean(ftse), sd = sd(ftse)), col = "red")

yvals <- dt((ftse - mu)/sigma, df = nu)/sigma
lines(ftse, yvals, col = "blue")

Passons à la pratique !

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