Ajuster le modèle de risques proportionnels de Cox
Analyse de survie en Python
Shae Wang
Senior Data Scientist
Fonction de risque et taux de risque
Fonction de risque $h(t)$ : décrit la probabilité qu'un événement survienne à un moment donné, compte tenu de la survie jusque-là.
Taux de risque : taux instantané de survenue de l'événement
$$h(t)=-\frac{d}{dt}logS(t)$$
La fonction de risque $h(t)$ et la fonction de survie $S(t)$ se déduisent l'une de l'autre.
L'hypothèse des risques proportionnels
L'hypothèse des risques proportionnels : les risques des individus sont proportionnels entre eux.
Pour l'individu $A$ et l'individu $B$ : $$h_A(t)=ch_B(t)$$
- Il existe une fonction de risque de base et les autres risques sont définis par des facteurs d'échelle.
- L'effet relatif sur la survie associé à une variable ne varie pas dans le temps (invariant dans le temps).
Le modèle de risques proportionnels de Cox
Selon l'hypothèse des risques proportionnels : $$h(t|x)=b_0(t)exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$$
$b_0(t)$ : fonction de risque de base, au niveau population, qui varie dans le temps.
$exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$ : relation linéaire entre les covariables et le log du risque, qui NE varie PAS dans le temps.
- Le modèle de risques proportionnels de Cox (Cox PH) est un modèle de régression qui fait la régression des covariables sur le temps jusqu'à l'événement/la durée.
Données requises pour le modèle Cox PH
- Durées : durée de vie/durée des individus.
- Événements : si l'événement a été observé (1=Oui, 0=Non, censuré).
- S'il n'est pas fourni, le modèle suppose qu'aucun sujet n'est censuré.
- Covariables : variables continues ou catégorielles encodées one-hot pour la régression.
Ajuster le modèle Cox PH
- Importer et instancier la classe
CoxPHFitterfrom lifelines import CoxPHFitter coxph = CoxPHFitter() - Appeler
.fit()pour ajuster l'estimateur aux donnéescoxph.fit(df, duration_col, event_col) - Accéder aux autres propriétés pour voir le sommaire du modèle, les covariables, les coefficients, prédire, tracer, etc.
coxph.summary() coxph.predict()
Exemple de modèle Cox PH
- DataFrame :
mortgage_df - Covariables :
houseprincipalinterestproperty_taxcredit_score
- Autres colonnes :
duration,paid_off
from lifelines import CoxPHFittercoxph = CoxPHFitter() coxph.fit(df=mortgage_df, duration_col="duration", event_col="paid_off")
Modèle personnalisé
Filtrer le DataFrame :
new_df = mortgage_df.loc[:,
mortgage_df.columns!="house"]
coxph.fit(df=new_df,
duration_col="duration",
event_col="paid_off")
Utiliser le paramètre formula :
coxph.fit(df=mortgage_df,
duration_col="duration",
event_col="paid_off",
formula="principal + interest
+ property_tax + credit_score")
- Plus pratique et plus clair, mais ne passe pas à l'échelle avec un grand nombre de covariables.
Interpréter les coefficients
print(coxph.summary)
<lifelines.CoxPHFitter: fitted with 1808 observations, 340 censored>
coef exp(coef) se(coef) z p
covariate house -0.38 0.68 0.19. -1.98 0.05
principal -0.06 0.94 0.02 -2.61 0.01
interest 0.31 1.37 0.31 1.02 0.31
property_tax -0.15 0.86 0.21 -0.71 0.48
credit_score -0.43 0.65 0.38 -1.14. 0.26
- Rapport de risque : $e^{coef}$
- Une hausse d'une unité de
interestà partir de sa valeur médiane → le risque change d'un facteur $e^{0.31}=1.37$, soit une hausse de 37 % par rapport au risque de base.
- Une hausse d'une unité de
Passons à la pratique !
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