Analyse des chiffres avec la loi de Benford

Détection de la fraude en R

Bart Baesens

Professor Data Science at KU Leuven

Introduction

Prenez un journal à une page au hasard et notez le premier chiffre (1,2,...,9) de tous les nombres.
Quelles sont les fréquences attendues de ces chiffres?

journal

Introduction

Prenez un journal à une page au hasard et notez le premier chiffre (1,2,...,9) de tous les nombres.
Quelles sont les fréquences attendues de ces chiffres?
On devine naturellement environ 1/9 = 11 %

diagramme à barres aléatoire

Introduction

Prenez un journal à une page au hasard et notez le premier chiffre (1,2,...,9) de tous les nombres.
Quelles sont les fréquences attendues de ces chiffres?
On devine naturellement environ 1/9
Loi de Benford : fréquences attendues
- chiffre 1 $\approx$ 30 %
- chiffre 9 $\approx$ 4,6 %

diagramme à barres Benford

Newcomb et Benford

« Que les dix chiffres n'apparaissent pas avec une fréquence égale saute aux yeux de quiconque utilise souvent des tables logarithmiques et remarque à quel point les premières pages s'usent plus vite que les dernières. » (Newcomb, 1881)
Benford a observé le premier chiffre de nombres dans 20 ensembles de données.

newben

Loi de Benford pour le premier chiffre

Un ensemble de données respecte la loi de Benford pour le premier chiffre si la probabilité que le premier chiffre $D_1$ soit égal à $d_1$ est approximativement : $$P(D_1=d_1)=\log(d_1+1)-\log(d_1)=\log\left(1+\frac{1}{d_1}\right) \qquad d_1=1,\ldots,9$$

Exemples
- $P(D_1=1)=\log\left(1+\frac{1}{1}\right)=\log(2)=0.3010300$
- $P(D_1=2)=\log\left(1+\frac{1}{2}\right)=\log(1.5)=0.1760913$
- $P(D_1=9)=\log\left(1+\frac{1}{9}\right)=\log(1.111111)=0.04575749$
Pinkham a montré que la loi de Benford est invariante par changement d'échelle.

Loi de Benford pour le premier chiffre

benlaw <- function(d) log10(1 + 1 / d)
benlaw(1)

0.30103

diagramme Benford

Nous générons les 1 000 premiers nombres de Fibonacci.

fibnum <- numeric(1000)
fibnum[1] <- fibnum[2] <- 1
for (i in 3:1000) { fibnum[i] <- fibnum[i-1] + fibnum[i-2] } 
head(fibnum)

1 1 2 3 5 8

Nous générons aussi les 1 000 premières puissances de 2.

pow2 <- 2^(1:1000)
head(pow2)

2 4 8 16 32 64

Fonction `benford` du paquet benford.anaysis

library(benford.analysis)
bfd.fib <- benford(fibnum,
                   number.of.digits = 1)
plot(bfd.fib)

fibonacci

library(benford.analysis)
bfd.pow2 <- benford(pow2,
                    number.of.digits = 1)
plot(bfd.pow2)

pow2

Passons à la pratique !

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