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Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Modèle GARCH-dans-la-moyenne

Quantifier le compromis risque-rendement.
Risque : $\sigma^2_t$. Rendement : $\mu_t$.
Modèle GARCH-dans-la-moyenne :

$$ \mu_{t} = \mu + \lambda \sigma^2_{t} $$

$\lambda > 0$ est le paramètre risque/rendement indiquant l'augmentation du rendement espéré par unité de variance du risque.

Comment faire ?

Modifiez l'argument mean.model dans ugarchspec() de list(armaOrder = c(0, 0)) à list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2) :

garchspec <- ugarchspec(
              mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
              variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
              distribution.model = "sstd")

garchspec <- ugarchspec(
               mean.model = list(armaOrder = c(0, 0), archm = TRUE, archpow = 2),
               variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
               distribution.model = "sstd")

Application aux rendements quotidiens du S&P 500

Estimation

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Inspection des coefficients estimés pour la moyenne

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

    mu  archm 
0.0002 1.9950

Rendements moyens prévus

$$ \hat{\mu}_{t} = 0.0002 + 1.9950 \hat{\sigma}^2_{t} $$

Série chronologique des rendements prévus

Tracez-les dans R
```
plot(fitted(garchfit))
```

Le rendement d'aujourd'hui prédit celui de demain

Le GARCH-dans-la-moyenne s'appuie sur la théorie financière du compromis risque-rendement pour construire une moyenne conditionnelle.
Utilisons maintenant la théorie statistique pour bâtir un modèle de moyenne exploitant la corrélation entre le rendement d'aujourd'hui et celui de demain.
Le modèle le plus courant est l'AR(1) :
- AR(1) signifie « autorégressif d'ordre 1 ».
- Il prédit le prochain rendement à partir de l'écart au rendement moyen à long terme $\mu$ :

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

Un coefficient autorégressif positif

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho > 0$ :
- Un rendement supérieur (resp. inférieur) à la moyenne est suivi d'un rendement supérieur (resp. inférieur) à la moyenne.
- Explication possible : les marchés sous-réagissent aux nouvelles, d'où un momentum des rendements.
$|\rho|<1$ : Réversion vers la moyenne : les écarts de $R_t$ par rapport à $\mu$ sont transitoires.

Un coefficient autorégressif négatif

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) $$

$\rho < 0$ :
- Un rendement supérieur (resp. inférieur) à la moyenne est suivi d'un rendement inférieur (resp. supérieur) à la moyenne.
- Explication possible : les marchés surréagissent aux nouvelles, d'où une inversion des rendements.

Application aux rendements quotidiens du S&P 500

Spécification et estimation d'un AR(1)-GJR GARCH avec distribution sst

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

Estimations du modèle AR(1)

round(coef(garchfit)[1:2], 4)

     mu     ar1     
 0.0003 -0.0292

Modèles MA(1) et ARMA(1,1)

Le modèle à moyenne mobile d'ordre 1 utilise l'écart du rendement à sa moyenne conditionnelle :

$$ \mu_{t} = \mu + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

ARMA(1,1) combine AR(1) et MA(1) :

$$ \mu_{t} = \mu + \rho(R_{t-1} - \mu) + \theta(R_{t-1} - \mu_{t-1}) $$

Comment faire ?

MA(1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(0, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

ARMA(1, 1)

garchspec <- ugarchspec( 
          mean.model = list(armaOrder = c(1, 1)),
          variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
          distribution.model = "sstd")

À vous de modifier l'argument mean.model

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