Modèles GARCH : la voie à suivre

Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Inventeurs des modèles GARCH

Robert Engle

Engle

Tim Bollerslev

Bollerslev

Modèles GARCH en R

Notation (i)

  • Entrée : série chronologique des rendements

Volatilités prévues

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Notation (ii)

  • Au temps $t-1$, vous prédisez le rendement futur $R_t$ à partir de l'« ensemble d'information » disponible à $t-1$ :

Volatilités prévues

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Notation (iii)

  • Prédire le rendement moyen : quelle est la meilleure prévision du rendement observé ? Volatilités prévues
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Notation (iv)

  • On prédit ensuite la variance : à quelle distance le rendement peut-il s'écarter de sa moyenne ? Volatilités prévues
Modèles GARCH en R

De la théorie à la pratique : modèles pour la moyenne

  • Il faut une équation qui transforme les rendements passés en prévision de la moyenne Volatilités prévues

Pour les modèles AR(MA) de la moyenne, voyez le cours DataCamp sur l'analyse des séries chronologiques.

Modèles GARCH en R

De la théorie à la pratique : modèles pour la variance

  • Il faut une équation qui transforme les rendements passés en prévisions de la variance Volatilités prévues
Modèles GARCH en R

Modèle ARCH(p) : hétéroscédasticité conditionnelle autorégressive

  • Il faut une équation qui transforme les rendements passés en prévisions de la variance Volatilités prévues
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Modèle GARCH(1,1) : ARCH généralisé

  • Il faut une équation qui transforme les rendements passés en prévisions de la variance Volatilités prévues
Modèles GARCH en R

Contraintes sur les paramètres

Pour rendre le processus GARCH réaliste, il faut :

  1. $\omega$, $\alpha$ et $\beta$ soient $>0$ : cela assure que $\sigma^2_t >0$ en tout temps.

  2. $\alpha + \beta < 1$ : cela assure que la variance prévue $\sigma^2_t$ revient toujours à la variance de long terme :

    • La variance est donc « retour à la moyenne »
    • La variance de long terme vaut $ \frac{\omega}{1-\alpha-\beta}$
Modèles GARCH en R

Implémentation R – définir les entrées

  • Familiarisons-nous avec les équations GARCH à l'aide de code R :

$$ \sigma^{2}_{t} = \omega + \alpha e^{2}_{t-1} \beta \sigma^{2}_{t-1} $$

# Définir les valeurs des paramètres
alpha <- 0.1
beta <- 0.8
omega <- var(sp500ret) * (1 - alpha - beta)
# Alors : var(sp500ret) = omega / (1 - alpha - beta)

# Définir la série des erreurs de prévision
e <- sp500ret - mean(sp500ret) # Moyenne constante
e2 <- e ^ 2
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Implémentation R – calculer les variances prévues

# On prédit, pour chaque observation, sa variance.
nobs <- length(sp500ret)
predvar <- rep(NA, nobs)

# Initialiser le processus à la variance de l'échantillon
predvar[1] <- var(sp500ret)

# Boucle à partir de 2 à cause du prédicteur retardé
for (t in 2:nobs){
   predvar[t] <- omega + alpha * e2[t - 1] + beta * predvar[t-1]
}
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Implémentation R – graphique des volatilités GARCH

# La volatilité est la racine carrée de la variance prévue
predvol <- sqrt(predvar)
predvol <- xts(predvol, order.by = time(sp500ret))

# Comparer avec la volatilité inconditionnelle
uncvol <- sqrt(omega / (1 - alpha-beta))
uncvol <- xts(rep(uncvol, nobs), order.by = time(sp500ret))

# Tracer
plot(predvol)
lines(uncvol, col = "red", lwd = 2)
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Volatilités prévues

Modèles GARCH en R

Passons à la pratique !

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