Les prévisions GARCH correspondent-elles bien aux rendements observés?

Modèles GARCH en R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Critère d'évaluation

  • Selon ce que vous voulez évaluer
    • la moyenne prévue
    • la variance prévue
    • la distribution prévue des rendements
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1) Qualité d'ajustement pour la prévision de la moyenne

À partir du modèle GARCH estimé, on a :

Mise en œuvre

e <- residuals(tgarchfit) 
mean(e ^ 2)
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2) Qualité d'ajustement pour la prévision de la variance

Le modèle GARCH donne :

Mise en œuvre

e <- residuals(tgarchfit)
d <- e ^ 2 - sigma(tgarchfit) ^ 2 
mean(d ^ 2)
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Exemple pour les rendements EUR/USD

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
   variance.model = list(model = "sGARCH", variance.targeting = TRUE),
   distribution.model = "std")
tgarchfit <- ugarchfit(data = EURUSDret, spec = tgarchspec)

# Calculer l'erreur quadratique moyenne de prévision pour la moyenne
e <- residuals(tgarchfit) ^ 2
mean(e ^ 2) # 3.836205e-05
# Calculer l'erreur quadratique moyenne de prévision pour la variance
d <- e ^ 2 - sigma(tgarchfit) ^ 2
mean(d ^ 2) # 5.662366e-09
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3) Qualité d'ajustement pour la distribution

  • Le modèle GARCH fournit une densité prévue pour tous les rendements de l'échantillon
    • Plus la densité est élevée, plus le rendement est probable sous le modèle GARCH estimé
    • La vraisemblance de l'échantillon est le produit de toutes ces densités. Elle mesure la probabilité que les rendements observés proviennent du modèle GARCH estimé
    • Plus la vraisemblance est élevée, meilleur est l'ajustement aux données
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Exemple pour les rendements EUR/USD

likelihood(tgarchfit) # returns 18528.58

Analyser en comparant avec d'autres modèles :

# Modèle complexe avec plusieurs paramètres
flexgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                            variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                            distribution.model = "sstd")
flexgarchfit <- ugarchfit(data = EURUSDret, spec = flexgarchspec)
likelihood(flexgarchfit) # returns 18530.49
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Risque de surajustement

Attention : nous utilisons une évaluation en échantillon où l'échantillon d'estimation et l'échantillon d'évaluation coïncident.

Risque de surajustement :

Le surajustement consiste à choisir des modèles trop complexes qui s'ajustent bien aux rendements de l'échantillon d'estimation utilisé, mais pas aux rendements futurs hors échantillon.

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Solution : équilibrer l'ajustement avec une pénalité de complexité

  • Un modèle GARCH est parcimonieux s'il a :
    • une vraisemblance élevée
    • et un nombre de paramètres relativement faible
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Critères d'information

  • La parcimonie se mesure par des critères d'information.

critères d'information = - vraisemblance + pénalité(nombre de paramètres)

  • Plus c'est faible, mieux c'est.

Règle pratique pour choisir :
Choisir le modèle au critère d'information le plus faible.

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Résultats des critères d'information

La méthode infocriteria() affiche les critères d'information pour diverses pénalités

infocriteria(tgarchfit)

out Akaike -7.468081 Bayes -7.462833 Shibata -7.468083 Hannan-Quinn -7.466241 `

L'interprétation exige une comparaison avec les critères d'autres modèles.

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Illustration sur les rendements EUR/USD

tgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0, 0)),
   variance.model = list(model = "sGARCH", variance.targeting = TRUE),
   distribution.model = "std")
tgarchfit <- ugarchfit(data = EURUSDret, spec = tgarchspec)
length(coef(tgarchfit)) # only 5 parameters
likelihood(tgarchfit)   # equals 18528.58

flexgarchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
   variance.model = list(model = "gjrGARCH"), distribution.model = "sstd")
flexgarchfit <- ugarchfit(data = EURUSDret, spec = flexgarchspec)
length(coef(flexgarchfit)) # we now have 8 parameters
likelihood(flexgarchfit) #  18530.49: likelihood increased
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Quel modèle est le plus parcimonieux pour les rendements EUR/USD?

Une vraisemblance plus élevée est préférable. Un critère d'information plus faible est préférable.

infocriteria(tgarchfit) # Modèle simple

Akaike       -7.468435
Bayes        -7.464499

infocriteria(flexgarchfit) # Modèle complexe

Akaike       -7.467239
Bayes        -7.456742

Le modèle simple a le critère d'information le plus faible et doit être privilégié ici.

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Le résultat dépend du cas : rendements de MSFT

tgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = tgarchspec)
flexgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = flexgarchspec)
infocriteria(tgarchfit)

Akaike       -5.481895
Bayes        -5.477833

infocriteria(flexgarchfit) 

Akaike       -5.489087
Bayes        -5.478255

Le modèle complexe a le critère d'information le plus faible et doit être privilégié ici.

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